Considere o circuito ao lado, onde os valores de E , R 1 , R 2 , C 1 ,   C 2 e C 3 são conhecidos e os capacitores C 1 , C 2 e C 3 encontram-se inicialmente descarregados. Em seguida, os capacitores C 1 e C 2 são carregados fechando-se a chave S 1 e mantendo-se a chave S 2 aberta.

a) Apresente uma expressão para tensão (ddp) V R 1 ( t ) no resistor R 1 em função do tempo, a partir do instante em que a chave S 1 é fechada.

b) Calcule também a energia total armazenada nos dois capacitores C 1 e C 2 , supondo que a chave S 1 permaneceu fechada durante muito tempo.

Agora considere que S 1 seja aberta, depois de ter permanecido fechada durante muito tempo. Sabe-se que, neste instante, V A - V B = E ’ . Simultaneamente, os capacitores C 1 e C 2 são conectados ao capacitor descarregado C 3 fechando-se a chave S 2 , que assim permanece durante muito tempo.

c) Calcule as tensões (ddps) finais entre os terminais dos capacitores C 1 ,   C 2 e C 3 .

d) Calcule a energia total armazenada nos capacitores C 1 ,   C 2 e C 3 ao final do processo. Compare com a energia armazenada nos capacitores C 1 e C 2 imediatamente antes do fechamento da chave S 2 . Por que elas são diferentes?

Passo 1

a)

A chave S 2 está aberta, então podemos considerar um circuito assim:

Na figura o R   representa R 1 e C   a capacitância equivalente entre C 1 e C 2 . Como esses capacitores estão em série:

C = C 1 C 2 C 1 + C 2

Como a chave S 1 está fechada, o capacitor C está carregando. A equação que descreve a corrente durante o carregamento de um capacitor é:

i = E R 1 e - t / R 1 C

Além disso,

V R 1 t = R 1 i t

Substituindo:

V R 1 t = R 1 E R 1 e - t / R 1 C

V R 1 t = E e - t / R 1 C

Só para ficar mais bonito, podemos definir:

τ = R 1 C

E com isso:

V R 1 t = E e - t / τ

Passo 2

b)

Agora estamos na situação em que S 1 ficou fechada muito tempo. E queremos saber a energia armazenada em C 1   e C 2 .

Se S 1 ficou fechada por muito tempo ( t → ∞ ), quer dizer que o capacitor está completamente carregado. Temos que quando, t → ∞ ,   i → 0 . Pois

i = E R 1 e - t / R 1 C

Com isso, V R 1 t → 0 , pois V R 1 t = R 1 i ( t )

Agora, o capacitor está totalmente carregado, ou seja

V C = E

A energia armazenada em no capacitor é

E = 1 2 C V C 2 = 1 2 C E 2

Passo 3

c)

Agora nós vamos abrir S 1 e fechar S 2 . Os capacitores C 1 e C 2   vão se descarregar e o capacitor C 3 será carregado.

Além disso, como os capacitores C 1 e C 2 estão em paralelo com C 3 , a tensão nesses terminais será a mesma.

V A B = V C D = V f

Após se passar muito tempo, t → ∞ , a corrente e a ddp em R 3 serão zero. Pelo mesmo motivo que aconteceu na letra a.

Pela conservação de cargas, temos:

q 1 + q 3 = q 0

q 1   representa as cargas que passam pelos capacitores C 1 e C 2 .ao longo do tempo, q 3   representa as cargas no capacitor C 3 . E no inicio dessa segunda etapa do sistema, toda a carga estava em C , que é a capacitância equivalente entre C 1 e C 2 .. Então, com o decorrer do tempo, temos esse balanço.

Beleza, acompanha aqui comigo. Vimos que a diferença de potencial entre os terminais são iguais. Então, como q = C V :

q 1 + q 3 = q 0

C V f + C 3 V f = C E '

Onde E ' acontece na situação em que C está totalmente carregado, mas vimo na letra b que, nesta situação

V C = E

Então

E ' = E

Então

C V f + C 3 V f = C E

V f = C C + C 3 E

V f = C C + C 3 E

Como entre os terminais CD temos só o capacitor 3 , então essa é a tensão que procurávamos.

V C 3 = C C + C 3 E

E agora, como falamos, já que os capacitores C 1 e C 2 ..estão em série, suas cargas são iguais, q 1 , ou seja:

q 1 = C 1 V C 1 = C 2 V C 2 = C V f

Mas

q 1 = C V f

Então, as tensões nos capacitores C 1   e C 2 valem:

q 1 = C 1 V C 1

V C 1 = q 1 C 1 = C V f C 1

E

q 1 = C 2 V C 2

V C 2 = q 1 C 2 = C V f C 2

Substituindo o valor de V f :

V C 1 = C C C + C 3 E C 1

V C 2 = C C C + C 3 E C 2

Passo 4

d)

A energia final pé dada pela soma das energia em cada capacitor.

E f = E C + E C 3

E f = 1 2 C V f 2 + 1 2 C 3 V f 2

E f = 1 2 C + C 3 V f 2

Substituindo o valore de V f :

E f = 1 2 C + C 3 C C + C 3 E 2

E f = C E 2   2 ( C + C 3 )

Mas olha, podemos arrumar um pouquinho:

E f = C   C + C 3 1 2 C E 2

E como 1 2 C E 2 é a energia da primeira etapa, quando S 1 estava fechada, vamos chama-la de E 0

E f = C   C + C 3 E 0

Vemos que E f < E 0 , isso ocorre porque a diferença de energia entre as etapas foi utilizada na transferência de parte da carga final da primeira etapa, q 0 , para o capacitor C 3 .

Resposta

a)

V R 1 t = E e - t / τ

b) U = 1 2 C V C 2 = 1 2 C E 2

c) V C 1 = C C C + C 3 E C 1

V C 2 = C C C + C 3 E C 2

V C 3 = C C + C 3 E

d) E f = C   C + C 3 E 0

E f < E 0 , isso ocorre porque a diferença de energia entre as etapas foi utilizada na transferência de parte da carga final da primeira etapa, q 0 , para o capacitor C 3 .

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