Exercícios Resolvidos de Circuito RC

No circuito da figura, a fonte tem f e m ε e resistência interna r , as resistências dos resistores são R 1 , R 2 e R 3 , e as capacitâncias dos capacitores são C 1 e C 2 .

A chave S permaneceu fechada por um tempo suficientemente longo para que os capacitores se carregassem totalmente. Nessa situação, calcule:

a a corrente através da fonte;

b a carga dos capacitores C 1 e C 2 ;

c a diferença de potencial através de R 3 .

Com os capacites totalmente carregados, abre-se a chave S .

d Qual é a energia total dissipada no circuito?

Passo 1

a Calcule a corrente através da fonte;

Como os capacitores estão carregados, não há corrente passando por eles. Dessa forma, o circuito pode ser simplificado para:

Assim, utilizando a Lei das Malhas de Kirchhoff, teremos:

ε - r . I - R 1 . I - R 2 . I = 0

r + R 1 + R 2 . I = ε

I = ε r + R 1 + R 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Calcule a carga dos capacitores C 1 e C 2 ;

Para os dois circuitos em paralelo, a capacitância equivalente será dada por:

C e q = C 1 + C 2

Esse capacitor equivalente possui uma carga Q , que será dada por:

Q = Q 1 + Q 2

Que são justamente os caras que queremos calcular.

Como o capacitor equivalente está em paralelo com R 2 , a ddp através de ambos deve ser a mesma. Logo:

I . R 2 = Q C e q

Q = C e q . R 2 . I

Substituindo aqui as expressões de I e C e q , teremos:

Q = C 1 + C 2 . R 2 . ε r + R 1 + R 2

Passo 3

Para calcular as cargas de cada capacitor, temos que, como os mesmos estão em paralelo:

Q = Q 1 + Q 2

Q 1 C 1 = Q 2 C 2 → Q 2 = Q 1 . C 2 C 1

Sendo assim:

Q = Q 1 + Q 1 . C 2 C 1 = Q 1 C 1 C 1 + C 2

Q 1 = Q . C 1 C 1 + C 2

Q 2 = Q . C 2 C 1 + C 2

Substituindo nas expressões a carga Q que encontramos no Passo 2, teremos:

Q 1 = C 1 C 1 + C 2 . C 1 + C 2 . R 2 . ε r + R 1 + R 2

Q 1 = C 1 . R 2 . ε r + R 1 + R 2

Q 2 = C 2 C 1 + C 2 . C 1 + C 2 . R 2 . ε r + R 1 + R 2

Q 2 = C 2 . R 2 . ε r + R 1 + R 2

Passo 4

c Calcule a diferença de potencial através de R 3 .

Como não há corrente passando por R 3 nessa situação:

V 3 = I 3 . R 3

V 3 = 0

Passo 5

d Qual é a energia total dissipada no circuito?

Ao abrirmos a chave, o circuito terá essa cara:

Dessa forma, os capacitores passarão utilizar a energia armazenada pra alimentar o circuito. Dessa forma, a energia dissipada pelos resistores será igual à energia inicialmente armazenada nos resistores, dada por:

U = Q 2 2 C e q

U = C 1 + C 2 . R 2 . ε r + R 1 + R 2 2 . 1 2 C 1 + C 2

Arrumando a casa, teremos o seguinte:

U = C 1 + C 2 . R 2 2 . ε 2 2 r + R 1 + R 2 2

Resposta

a

I = ε r + R 1 + R 2

b

Q 1 = C 1 . R 2 . ε r + R 1 + R 2

Q 2 = C 2 . R 2 . ε r + R 1 + R 2

c V 3 = 0

d

U = C 1 + C 2 . R 2 2 . ε 2 2 r + R 1 + R 2 2

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