Considere um circuito LRC em série onde L = 2 m H . O capacitor é carregado com uma carga inicial q 0 = 2 μ C e então o circuito é colocado para oscilar. Sabendo-se que o período da oscilação não amortecida é de T 0 = 1   m s e o coeficiente de amortecimento é γ = 0,8   s - 1 , pede-se:

1 ) Escreva a equação da oscilação dom todas as constantes numéricas.

2 ) Calcule os valores da capacitância e da resistência.

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

TEmos um circuito LRC (Indutor Resistor Capacitor) em série da seguinte forma

a tensão indicada na figura não nos importa muito agora, mas é ela quem carrega o capacitor inicialmente, ao iniciarmos a oscilação podemos simplesmente retirar a fonte do circuito. Temos que a Indutância é tal que

L   =   2 m   H

e a carga inicial é dada por

q 0 =   2 μ   C

O enunciado também cita o período da oscilação não amortecida (circuito LC) que tem valor

T 0 = 1   m s

esse valor será útil para encontrarmos a frequência natural do oscilador. E, por último temos o coeficiente de amortecimento dado por

γ = 0,8   s - 1

que está relacionado a introdução do resistor em nosso circuito! O objetivo aqui é construir a equação diferencial que rege a nossa oscilação amortecida, e então usar ela para obter a capacitância e a resistência! Vamos lá!

Passo 2

O que precisamos fazer é aplicar a lei das malhas (segunda lei de Kirchoff) que indica que o potencial dentro de uma malha se conserva, ou seja, temos que

ε + ε r e s i s t o r + ε c a p a c i t o r + ε i n d u t o r = 0

usando que

ε r e s i s t o r = - R i

ε c a p a c i t o r = - q C

e que

ε i n d u t o r = - L d i d t

temos que a equação diferencial toma a forma

ε - R i - q C - L d i d t = 0

em um sistema sem fonte como desejamos, temos que

R i + q C + L d i d t = 0

usando que a corrente elétrica pode ser escrita como

i = d q d t

temos que

d 2 q d t 2 + R L d q d t + 1 L C q = 0

definindo que

R L = γ e que ω 0 2 = 1 L C

podemos escrever

d 2 q d t 2 + γ d q d t + ω 0 2 q = 0

usando que ω 0 = 2 π / T 0 , em termos de valores numéricos, temos que

d 2 q d t 2 + 0,8   d q d t + 4 π 2 μ q = 0

Vamos achar agora a capacitância e a resistência!

Passo 3

Temos que

ω 0 2 = 4 π 2 μ = 1 L C

ou seja, a capacitância é dada por

C = μ 4 π 2 L = 1 × 1 0 - 6 8 π 2   × 1 0 - 3 = 1,27   × 1 0 - 5   F

e a resistência é tal que

γ = R L = 0,8

ou seja, temos que

R = 1,6   × 1 0 - 3 Ω

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d 2 q d t 2 + 0,8   d q d t + 4 π 2 μ q = 0

C = 1,27   × 1 0 - 5   F

R = 1,6   × 1 0 - 3 Ω

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