Exercícios Resolvidos de Circuito RC

UNICAMP-P2-2012.2-Física III-Diurno-Questão n°3

O circuito da figura contém dois resistores R 1 e R 2 e dois capacitores C 1 e C 2 e o conjunto é ligado a uma bateria de f e m ε . Antes de a chave S ser ligada, os capacitores estão descarregados.

a ) determine a constante de tempo desse circuito;

b ) determine a corrente que atravessa a bateria em função do tempo após o fechamento da chave S ;

c ) determine a d d p entre os ponto b e c em função do tempo;

d ) com S fechada por um longo tempo, quais são as cargas nos capacitores C 1 e C 2 .

Passo 1

a ) determine a constante de tempo desse circuito;

Antes de começar o problema aqui, a primeira coisa que devemos fazer é simplificar esse circuito.

Temos duas resistências em paralelo, de modo que a resistência equivalente será:

1 R e q = 1 R 1 + 1 R 2

R e q = R 1 R 2 R 1 + R 2

Da mesma forma, temos dois capacitores em paralelo, de forma que a capacitância equivalente será:

C e q = C 1 + C 2

Assim, o circuito, que antes tinha uma cara escrota, agora ainda tem uma cara ainda escrota, mas um pouco melhor...

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Isso agora nada mais é do que um circuito R C em série.

Quando o capacitor está inicialmente descarregado, a equação que determina o seu carregamento, é dada por:

q t = C ε 1 - e - t R C

Onde o produto R C é chamado de constante de tempo capacitiva.

Logo:

τ C = R e q C e q

τ C = R 1 R 2 R 1 + R 2   C 1 + C 2

τ C = R 1 R 2 C 1 + C 2 R 1 + R 2

Passo 3

b ) determine a corrente que atravessa a bateria em função do tempo após o fechamento da chave S ;

No passo anterior falamos um pouco de como a carga varia em função do tempo durante o carregamento, certo?

Então, se queremos descobrir a corrente, a única coisa que temos que fazer aqui é derivar a expressão:

q t = C ε 1 - e - t R C

Logo:

i t = d q t d t

i t = ε R e q e - t R e q C e q

Substituindo aqui a expressões de R e q e C e q :

i t = ε R 1 + R 2 R 1 R 2   e - R 1 + R 2 R 1 R 2 C 1 + C 2   t

Passo 4

c ) determine a d d p entre os ponto b e c em função do tempo;

Como as resistências R 1 e R 2 estão em paralelo:

V b c = V 1 = V 2

R 1 i 1 = R 2 i 2

i 1 = R 2 R 1   i 2

Entretanto, a soma das duas correntes deve ser sempre igual a i t , logo:

i 1 + i 2 = i t

R 2 R 1   i 2 + i 2 = i t

i 2 R 1 + R 2 R 1 = i t

i 2 = i t R 1 R 1 + R 2

Agora ficou mais tranquilo pro nosso lado:

V b c = V 2 = R 2 i 2

V b c = i t R 1 R 2 R 1 + R 2  

Substituindo a expressão de i t :

i t = ε R 1 + R 2 R 1 R 2   e - R 1 + R 2 R 1 R 2 C 1 + C 2   t

V b c = R 1 R 2 R 1 + R 2   ε R 1 + R 2 R 1 R 2   e - R 1 + R 2 R 1 R 2 C 1 + C 2   t

V b c = ε   e - R 1 + R 2 R 1 R 2 C 1 + C 2   t

Passo 5

d ) com S fechada por um longo tempo, quais são as cargas nos capacitores C 1 e C 2 .

Quando t → ∞ , o capacitor atinge a sua carga máxima e a corrente para de circular por ele.

Como vimos antes, a carga do capacitor varia em função do tempo de acordo com a função:

q t = C e q ε 1 - e - t R e q C e q

Quando o capacitor atinge a sua carga máxima, diferença de potencial entre os seus terminais é igual a ε .

Logo, depois de um tempo muito longo, os dois capacitores C 1 e C 2 estarão completamente carregados e a diferença de potencial entre os terminais de cada um deve ser igual a ε .

ε = Q 1 C 1 → Q 1 = C 1 ε

ε = Q 2 C 2 → Q 2 = C 2 ε

Resposta

a )

τ C = R 1 R 2 C 1 + C 2 R 1 + R 2

b )

i t = ε R 1 + R 2 R 1 R 2   e - R 1 + R 2 R 1 R 2 C 1 + C 2   t

c )

V b c = ε   e - R 1 + R 2 R 1 R 2 C 1 + C 2   t

d )

Q 1 = C 1 ε

Q 2 = C 2 ε

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas