Exercícios Resolvidos de Circuito RC

Capacitores e Dielétricos

No circuito da figura, os capacitores C 1 ,   C 2   e   C 3 têm as seguintes propriedades:

  • C 1   e   C 2 : inicialmente descarregados, ambos com meio de constante dielétrica κ = 5 e capacitância de 2 × 10 - 9   F .
  • C 3 : Carga inicial de 10 - 9   C , tipo placas paralelas com vácuo entre elas e de capacitância igual a 10 - 10   F .

Nesse circuito, ocorrem as seguintes fases sucessivas:

  • Fase 1: chave S 1 fechada e S 2 aberta durante longo tempo.
  • Fase 2: Chaves S 1   e   S 2 abertas, o meio dielétrico de C 1   e   C 2 é substituído por vácuo e a separação das placas C 3 é alterada.
  • Fase 3: chave S 1 aberta e S 2 fechada durante longo tempo.

Considerando ε 1 = ε 2 = 5   V , R = 1   k Ω e r = 10   k Ω , determine:

a ) As d.d.p. V A - V B ,   V B - V C   e   V D - V C em função do tempo durante a fase 1.

b ) A carga em C 1   e   C 2 no final da fase 1.

c ) Qual deve ser o aumento da separação das placas de C 3 durante a fase 2, para que a corrente no resistor r seja nula durante toda a fase 3?

d ) A diferença entre as energias armazenadas em C 3 na fase 1 e no final da fase 2.

Passo 1

a ) As d.d.p. V A - V B ,   V B - V C   e   V D - V C em função do tempo durante a fase 1.

Bom, na Fase 1, como a chave S 2 está aberta, o nosso circuito, basicamente, se resume a isso aqui:

Antes de continuar aqui, vamos dar uma arrumada nessa bagunça.

Temos duas fontes aqui... a fonte equivalente será:

ε e q = ε 1 + ε 2 = 5 + 5

ε e q = 10   V

Pra resistência equivalente, começamos pelas duas resistências de 2 R em paralelo:

1 R p a r = 1 2 R + 1 2 R = 2 2 R = 1 R

R p a r = R

Essa resistência, em série com a outra resistência R , resultará em uma resistência equivalente dessas duas:

R s é r i e = R + R = 2 R

Já resolvermos o ramo inferior desse cara. Finalmente, a resistência equivalente será:

1 R e q = 1 2 R + 1 2 R = 2 2 R = 1 R

R e q = R = 1   k Ω = 10 3   Ω

Para a capacitância equivalente, como C 1 e C 2 estão em série:

1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2

Como C 1 = C 2 = C = 2 × 10 - 9   F .

1 C e q = 1 C + 1 C = 2 C

C e q = C 2 = 10 - 9   F

Ótimo! Isso resultar em um circuito R C simples, mais ou menos com essa cara.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, agora vamos dar uma olhada nas diferenças de potenciais.

  • V B - V C
  • Esse trecho engloba o capacitor equivalente, que está inicialmente descarregado. A voltagem no capacitor enquanto ele está carregando é dada por:

    V B - V C = ε e q 1 - e - t / R e q C e q

    V B - V C = 10 1 - e - 10 6 t   V

  • V A - V B
  • Esse trecho engloba apenas o resistor, logo:

    V A - V B = R e q i t

    i t = i 0 e - t / R e q C e q

    i 0 = ε e q R e q = 10 10 3 = 10 - 2   A

    V A - V B = 10 3 × 10 - 2 × e - 10 6 t

    V A - V B = 10 e - 10 6 t

  • V D - V C
  • V D - V C = q 3 C 3 = 10 - 9 10 - 10

    V D - V C = 10   V

    Passo 3

    b ) A carga em C 1   e   C 2 no final da fase 1.

    Como os capacitores são iguais:

    q 1 = q 2 = ε e q C e q

    q 1 = q 2 = 10 - 8   C

    Passo 4

    c ) Qual deve ser o aumento da separação das placas de C 3 durante a fase 2, para que a corrente no resistor r seja nula durante toda a fase 3?

    No final da Fase 1, os capacitores C 1 e C 2 estavam totalmente carregados.

    q 1 = q 2 = 10 - 8   C

    E o capacitor C 3 possui carga q 3 = 10 - 9   C .

    Na Fase 2, as chaves S 1   e   S 2 abertas, o meio dielétrico de C 1   e   C 2 é substituído por vácuo e a separação das placas C 3 é alterada.

    V B - V C , tanto se percorrermos o circuito passando pelos capacitores 1 e 2, quanto se percorrermos o circuito passando pelo capacitor 3, deve nos fornecer o mesmo valor.

    Então é isso que vamos fazer, vamos percorrer esse caminho desses dois jeitos diferentes e igualá-los para descobrir quanto deve ser a separação das placas de C 3 .

    Passo 5

  • C 1 e C 2
  • Quando tirarmos o dielétrico de C 1 e C 2 , as suas capacitâncias irão mudar, de modo que:

    C ⏟ C a p a c i t â n c i a c o m   o d i e l é t r i c o = κ C 0 ⏟ C a p a c i t â n c i a s e m   o d i e l é t r i c o

    C 0 = C κ

    Como C 1 = C 2 :

    C 1 ' = C 2 ' = 2 × 10 - 9 5 = 4 × 10 - 10   F

    C e q ' = C ' 2 = 2 × 10 - 10   F

    Quando colocamos ou tiramos o dielétrico de um capacitor, as únicas coisas que mudam são a capacitância do mesmo e a ddp entre os seus terminais... a carga se mantém inalterada, logo:

    q e q ' = 10 - 8   C

    Finalmente:

    V B - V C = q e q ' C e q ' = 10 - 8 2 × 10 - 10 = 50   V

  • C 3

V B - V C = q 3 C 3 '

C 3 ' = q 3 V B - V C = 10 - 9 50 = 2 × 10 - 11 F

Agora vamos comparar C 3 com C 3 ' e descobrir a relação entre as separações d .

C 3 = 10 - 10   F

C 3 ' C 3 = 2 × 10 - 11 10 - 10 = 0,2

Para um capacitor de placas planas e paralelas:

C = ϵ 0 A d

Como a única coisa que mudou foi a separação:

ϵ 0 A d ' ϵ 0 A d = 0,2

d d ' = 0,2

d ' = d 0,2

d ' = 5 d

Logo, a nova separação entre as placas deve ser 5 vezes a separação inicial.

Passo 3

d ) A diferença entre as energias armazenadas em C 3 na fase 1 e no final da fase 2.

A energia armazenada em um capacitor é dada por:

U = Q 2 2 C

Δ U = U 2 - U 1

Δ U = q 3 2 2 C 3 ' - q 3 2 2 C 3

Lembra que no passo anterior nós já tínhamos achado a relação entre C 3 ' e C 3 ?

C 3 ' C 3 = 0,2 → C 3 ' = 0,2 C 3

C 3 ' = C 3 5

Voltando ao problema:

Δ U = q 3 2 2 C 3 ' - q 3 2 2 C 3

Δ U = q 3 2 2 C 3 5 - q 3 2 2 C 3

Δ U = 5 q 3 2 2 C 3 - q 3 2 2 C 3 = 4 q 3 2 2 C 3 = 2 q 3 2 C 3

Onde q 3 = 10 - 9   C e C 3 = 10 - 10   F .

Δ U = 2 10 - 9 2 10 - 10 = 2 × 10 - 18 10 - 10

Δ U = 2 × 10 - 8   J

Resposta

a )

V A - V B = 10 e - 10 6 t

V B - V C = 10 1 - e - 10 6 t   V

V D - V C = 10   V

b )

q 1 = q 2 = 10 - 8   C

c )

d ' = 5 d

d )

Δ U = 2 × 10 - 8   J

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