Exercícios Resolvidos de Circuito RC

No circuito da figura abaixo, o capacitor está inicialmente descarregado.

Em t = 0 a chave S é fechada.

a Determine as correntes i T , i 1 e i 2 em t = 0 .

b Determine as correntes i T , i 1 e i 2 para t → ∞ .

c Determine a carga q 2 no capacitor para t → ∞ .

d Suponha agora que a corrente i 1 t e a carga q 2 ( t ) sejam dadas por

i 1 t = A 1 e - λ t + B 1

q 2 t = A 2 e - λ t + B 2

Use os resultados anteriores para determinar as constantes A 1 ;   B 1 ;   A 2 ;   B 2   e   λ .

Passo 1

Durante o carregamento do capacitor a corrente no mesmo varia da seguinte forma:

i t = E R e - t R C

  • Quando t = 0 , i = E / R ... que é o momento imediatamente após a corrente começar a passar pelo capacitor, se trata da corrente máxima que passa por ele.
  • Quando t → ∞ , i = 0 ... ou seja, quando o capacitor fica completamente carregado, a corrente simplesmente para de passar por ele.

Agora podemos começar a quebrar a cabeça.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a Determine as correntes i T , i 1 e i 2 em t = 0 .

Como vimos no Passo 1, nesse instante, toda a corrente passa pelo capacitor, logo:

i 1 = 0

i T = i 2 = E R = 10 2 × 10 6 = 5 × 10 - 6   A

i T = i 2 = 5   μ A

Passo 3

b Determine as correntes i T , i 1 e i 2 para t → ∞ .

Como vimos no Passo 1, quando t → ∞ , a corrente para de passar pelo capacitor, logo:

i 2 = 0

Aplicando a Lei das Malhas na malha externa, teremos:

E - i 1 R 1 + R = 0

i T = i 1 = E R 1 + R = 10 3 × 10 6 + 2 × 10 6 = 10 5 × 10 6 = 2 × 10 - 6 A

i T = i 1 = 2   μ A

Passo 4

c Determine a carga q 2 no capacitor para t → ∞ .

A carga no capacitor é dada pela equação:

q 2 ∞ = C V C

Como o capacitor está em paralelo com o resistor de 3   M Ω , ambos tem a mesma ddp. Logo:

V C = R 1 i 1 ∞ = 3 × 10 6 × 2 × 10 - 6 = 6   V

Substituindo na primeira equação, teremos:

q 2 ∞ = 10 - 6 × 6 = 6 × 10 - 6

q 2 ∞ = 6 μ C  

Passo 5

d Suponha agora que a corrente i 1 t e a carga q 2 ( t ) sejam dadas por

i 1 t = A 1 e - λ t + B 1

q 2 t = A 2 e - λ t + B 2

Use os resultados anteriores para determinar as constantes A 1 ;   B 1 ;   A 2 ;   B 2   e   λ .

Agora basta aplicar às equações as relações que encontramos nos Passos anteriores.

  • i 1 :
  • i 1 0 = A 1 + B 1 = 0

    B 1 = - A 1

    i 1 ∞ = B 1 = E R + R 1

  • q 2 :

q 2 0 = A 2 + B 2 = 0

B 2 = - A 2

q 2 ∞ = B 2 = C R 1 i 1 ∞

B 2 = C R 1 E R + R 1

Passo 6

B 1 = - A 1 = E R + R 1 = 10 2 × 10 6 + 3 × 10 6 = 10 5 × 10 6 = 2 × 10 - 6

B 1 = - A 1 = 2 μ A

B 2 = - A 2 = C R 1 E R + R 1 = 10 - 6 × 3 × 10 6 × 10 2 × 10 6 + 3 × 10 6 = 30 5 × 10 6 = 6 × 10 - 6

B 2 = - A 2 = 6 μ C

Passo 7

A corrente no capacitor num tempo t é dada por

i t = E R e - t R 2 C

Já que R 2 que tá em série com o capacitor.

Comparando com e - λ t , vamos ter

λ = 1 R 2 C = 1 2 × 10 6 × 1 × 10 - 6

λ = 0,5   s - 1

Tem unidade de s - 1 por que o argumento da exponencial é adimensional, então λ t é adimensional quando λ tem a unidade inversa de t .

Resposta

a

i 1 = 0

i T = i 2 5 = μ A

b

i T = i 1 = 2   μ A

i 2 = 0

c

q 2 ∞ = 6 μ C

d

B 1 = - A 1 = 2 μ A

B 2 = - A 2 = 6 μ C

λ = 0,5   s - 1

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