Exercícios Resolvidos de Circuito RC

PUC-RIO – Física 3 2020.1 – P3– Questão 8

Considere o circuito da Figura 1, onde ε   =   6   V ,   C =   1   μ F ,   R 1   =   10 6   Ω ,   R 2   ≅   0   Ω e S é uma chave que alterna entre as posições 1 e 2 de forma cíclica, de tal forma que a permanência em cada posição tem a duração de 1 segundo.

  1. Desenhe o gráfico em escala da variação da d . d . p . no capacitor com dois ciclos da chave S, indicando nos eixos os valores numéricos importantes. NOTA: considere e   ≅   3 .
  2. Considere agora o circuito da Figura 2, onde ε   =   8   V ,   L =   0,01   H ,   R 2   =   1 k Ω ,   R 3   =   1   k Ω , o indutor está inicialmente sem energia e ocorrem as seguintes fases sucessivas:

    - Fase 1: chave S na posição 1 durante longo tempo;

    - Fase 2: chave S na posição 2 durante longo tempo.

  3. Determine R 1 para que a   d d p em R 3 no inicio da fase 2 seja igual a 80 V .
  4. Com o valor de R 1 calcule a corrente fornecida pela bateria no inicio da fase 1 .
  5. 1 e o indutor na figura 2 fossem plenamente energizados nos respectivos circuitos e depois conectados diretamente entre si, formando um circuito L C , qual seria a frequência angular de oscilação e a amplitude da voltagem do capacitor, após o sistema entrar em oscilação estável?

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

Quando estamos na posição 1 temos que a tensão é dada por:

V C = ϵ 1 - e - t τ c

Aqui temos que:

t = 1 s ,

  τ c = R 1 C = 10 6 . 1 × 10 - 6 = 1

ϵ = 6 V

Agora é só substituir:

V C = 6 1 - 1 e = 6 1 - 1 3 = 4

Na posição 2 temos:

V c = ϵ e - t τ

Nessa posição temos:

ϵ = 4

τ c = R 2 C ≃ 0 ∴ 1 τ c → ∞

Daí a ddp fica:

V c = 4 e - ∞ → 0

Então agora podemos fazer o gráfico. De 0 até 1 s temos um aumento na ddp, indo de 0 até 4 V , e depois entre os instantes 1 e 2 temos que a ddp é nula. A partir de t = 2 temos uma repetição, com o aumento da ddp até o instante t = 3 , daí novamente uma queda abrupta (por causa do fator exponencial), e entre 3 e 4 nula novamente. O gráfico da tensão pelo tempo fica mais ou menos assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra (b):

No inicio da fase 2 temos V 3 = i 0 R 3 = 80 , e resolvendo para a corrente:

i 0 = 80 1 × 10 3 = 0,08 A

Daí temos que i ( 0 ) é o valor da corrente no final da fase 1 , que é quando a gente chama que o indutor está como um curto, agora ficou tranquilo achar a resistência R 1 , já que a ddp ali é 8 V :

R 1 = ϵ i 0 = 8 0,08 = 100 Ω

Tranquilo? Vamos para o terceiro item?

Passo 3

Letra (c):

Com o indutor aberto, isso significa que temos um circuito bem simples, com uma bateria e duas resistências em série. Sabemos que a resistência total nesse caso é a soma das resistências, então a ddp é dividida entre elas:

ϵ = i R T  

i = 8 R 1 + R 2 = 8 100 + 1000 = 0,0072 A

Beleza? Vamos para o último item dessa questão?

Passo 4

Letra (d):

A frequência de oscilação é:

ω = 1 L C     = 1   0,01 × 10 - 6   = 10 4 r a d / s

E a amplitude de voltagem a gente pode achar através da conservação de energia.

Quando os dois componentes estão plenamente energizados, então em termos de energia total temos:

U t o t a l = 1 2 C ϵ 2 + 1 2 L i 2

Os valores de C ,   L ,   i   e   ϵ vou resgatar dos itens anteriores e substituir tudo ali em cima:

U t o t a l = 1 2 10 - 6 × 6 2 + 1 2 10 - 2 × 0,08 2 = 5 × 10 - 5 J

E para uma osculação estável temos:

U t o t a l = 1 2 C V 2

E assim conseguimos determinar V :

2 U t o t a l C = V

V = 2 . 5 × 10 - 5 10 - 6 = 100 V

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a )  

b ) 100 Ω

c ) 0,0072 A

d ) 10 4 r a d / s

100 V

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