Considere o circuito da Figura 1, onde os valores de ϵ ,   R 1 ,   R 2 ,   R 3 , C 1   e   C 2 são constantes e conhecidos. Inicialmente, os capacitores C 1 e C 2 estão descarregados e as chaves S 1 e S 2 abertas. Os capacitores C 1 e C 2 são carregados fechando-se as duas chaves simultaneamente. Em função dos dados do problema:

a) Apresente expressões para as tensões V1 e V2 e para as energias ϵ 1 e ϵ 2 armazenadas nos respectivos capacitores, supondo que ambas as chaves permaneceram fechadas durante muito tempo. Considere agora o circuito da Figura 2, onde os valores de ϵ 1 ,   ϵ 2 ,   R 1 ,   R 2 , C 1 e C 2 são constantes e conhecidos. Inicialmente, os capacitores C 1 e C 2 estão descarregados e a chave S1 aberta. No instante t   =   0   s , a chave S 1 é fechada e assim permanece por muito tempo. Em função dos dados deste novo problema:

b) Apresente expressões para as cargas nos capacitores C 1 e C 2 em função do tempo.

c) Apresente uma expressão para a tensão no resistor R1 em função do tempo.

d) Apresente expressões para as tensões V A B ( t )   =   V A ( t )   –   V B ( t ) e V C D ( t )   =   V C ( t )   –   V D ( t ) em função do tempo.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você!

Letra (a):

Quando a chave é fechada por muito tempo, a corrente deixa de passar pelos capacitores e temos um circuito simples de uma fonte e três resistores em série.

Daí pela lei das malhas temos:

ϵ - R 1 i - R 2 i - R 3 i = 0

i = ϵ R 1 + R 2 + R 3

Quando o circuito é em série, a corrente é igual em todo o fio, sendo assim a tensão em R 1 é:

V 1 = R 1 i = ϵ R 1 R 1 + R 2 + R 3

E esse resistor é paralelo ao capacitor C 1 , logo eles têm a mesma d d p :

Da mesma forma, o resistor R 2 é paralelo ao capacitor C 2 , então eles também têm a mesma d d p :

V 2 = R 2 i = ϵ R 2 R 1 + R 2 + R 3

E as energias?

Aqui é só aplicar a fórmula, já que sabemos as tensões nos capacitores:

U 1 = C 1 V 1 2 2 = C 1 2 ϵ R 1 R 1 + R 2 + R 3 2

E para o capacitor C 2 :

U 2 = C 2 V 2 2 2 = C 2 2 ϵ R 2 R 1 + R 2 + R 3 2

Beleza até aqui?

Passo 2

Letra (b):

O circuito da figura 2 pode ser simplificado com fonte equivalente, capacitância equivalente e resistência equivalente. Vamos começar pela fonte, como elas são opostas temos:

ϵ = ϵ 2 - ϵ 1

Para a resistência temos:

R = R 1 + R 2

E para a capacitância temos:

1 C = 1 C 1 + 1 C 2

C = C 1 C 2 C 1 + C 2

E o valor de R C :

R C = R 1 + R 2 C 1 C 2 C 1 + C 2

E como estamos na situação de carregamento, as equações para a carga e para a corrente (que são iguais para os capacitores em série) em função do tempo são:

q t = C ϵ 1 - e - t R C  

i t = ϵ R e - t R C

Substituindo pelas expressões equivalentes temos as expressões mais gerais:

q t = ϵ C 1 C 2 C 1 + C 2 1 - e - t R 1 + R 2 C 1 C 2 C 1 + C 2    

i t = ϵ R 1 + R 2 e - t R 1 + R 2 C 1 C 2 C 1 + C 2  

Agora podemos calcular a carga em cada capacitor:

C 1 = C 2 = q t = C 1 C 2 C 1 + C 2 ϵ 1 - e - t R 1 + R 2 C 1 C 2 C 1 + C 2    

Passo 3

Letra (c):

A tensão em R 1 é (aqui vou resgatar a corrente do passo anterior):

V 1 = R 1 i = R 1 ϵ R 1 + R 2 e - t R 1 + R 2 C 1 C 2 C 1 + C 2  

Passo 4

Letra (d):

Usando a lei das malhas temos:

V A - ϵ 1 - V C 1 = V B

V A - V B = ϵ 1 + V C 1

V A B = ϵ 1 + q t C 1

V A B = ϵ 1 + C 2 ϵ C 1 + C 2 1 - e - t R 1 + R 2 C 1 C 2 C 1 + C 2    

E agora fazendo de forma similar para achar V C D :

V C - ϵ 2 - V C 2 = V D

V C - V D = ϵ 2 + V C 2

V C D = ϵ 2 + q t C 2

V C D = ϵ 2 + C 1 ϵ C 1 + C 2 1 - e - t R 1 + R 2 C 1 C 2 C 1 + C 2    

Espero ter ajudado!

Resposta

( a ) V 1 = ϵ R 1 R 1 + R 2 + R 3

V 2 = ϵ R 2 R 1 + R 2 + R 3

U 1 = C 1 2 ϵ R 1 R 1 + R 2 + R 3 2

U 2 = C 2 2 ϵ R 2 R 1 + R 2 + R 3 2

( b ) C 1 = C 2 = q t = C 1 C 2 C 1 + C 2 ϵ 1 - e - t R 1 + R 2 C 1 C 2 C 1 + C 2    

V 1 = R 1 ϵ R 1 + R 2 e - t R 1 + R 2 C 1 C 2 C 1 + C 2  

( c ) V 1 = R 1 ϵ R 1 + R 2 e - t R 1 + R 2 C 1 C 2 C 1 + C 2  

( d ) V A B = ϵ 1 + C 2 ϵ C 1 + C 2 1 - e - t R 1 + R 2 C 1 C 2 C 1 + C 2    

V C D = ϵ 2 + C 1 ϵ C 1 + C 2 1 - e - t R 1 + R 2 C 1 C 2 C 1 + C 2    

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