Exercícios Resolvidos de Circuito RC

Circuitos RC

No circuito abaixo os capacitores C 1 , C 2   e   C 3 estão inicialmente descarregados e ocorrem as seguintes fases sucessivas:

Fase 1: chave S 1 fechada e S 2 aberta durante longo tempo;

Fase 2: chave S 1   e   S 2   abertas e o meio de C 2 substituído por outro de constante dielétrica 10 vezes menor;

Fase 3: chave S 1 aberta e S 2 fechada durante longo tempo.

Considerando ε = 10 V ,   R 1 = 10 6 Ω   e   R 2 = 10 5 Ω ,   C 1 = C 2 = 1 μ F   e   C 3 = 0,4 μ F , determine com justificativa:

a ) A corrente elétrica em função do tempo em R 1 durante a fase 1 .

b ) A energia dissipada em R 1 na fase 1 .

c ) A energia fornecida pela bateria na fase 1 .

d ) A d.d.p. V A - V B no final da fase 1 .

e ) A energia armazenada em C 2 na fase 1 .

f ) A d.d.p. V C - V D no início e final da fase 3 .

g ) As cargas em C 1 ,   C 2   e   C 3 no final da fase 3 .

Passo 1

Vamos primeiramente analisar a fase 1 , durante essa fase, temos que os capacitores C 1 e C 2 , inicialmente descarregados irão se carregar. Sempre que temos um capacitor carregando, temos que a corrente varia da seguinte maneira:

i t = ε R e - t τ

Onde τ = R . C é a chamada constante de tempo capacitiva! Repare, que temos nesse caso dois capacitores em série, portanto, C é a capacitância equivalente e vale:

1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2

1 C e q = 1 1 + 1 1 = 2

C e q = 0,5   μ F

Ou seja, a constante de tempo capacitiva é:

τ = R . C

τ = 10 6 . 0,5 × 10 - 6

τ = 0,5   s  

Sabendo que ε = 10   V e R = 10 6 Ω , temos que a corrente varia com o tempo da seguinte forma:

i t = ε R e - t τ

i t = 10 10 6 e - t 0,5

i t = 10 - 5 e - 2 . t   [ A ]

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Como já sabemos como a corrente no resistor varia em função do tempo, podemos calcular a energia dissipada da seguinte forma:

P = R . i 2

P = d U d t

d U = R i 2 d t

No caso, pela corrente variar com o tempo, temos:

U R 1 = ∫ 0 ∞ R . i 2 t d t

Substituindo, temos:

U R 1 = ∫ 0 ∞ 10 6 .     10 - 10 e - 4 . t d t

U R 1 = - 10 - 4 4 . e - 4 . t 0 ∞

U R 1 = - 10 - 4 4 ( 0 - 1 )

U R 1 = 2,5 × 10 - 5   J

Molezinha!

Passo 3

c )

Podemos determinar a energia fornecida pela bateria usando o mesmo mimimi que usamos no item anterior, se liga!

d U ε = ε . i d t

Como temos que a corrente varia com o tempo, vai rolar uma integralzinha aqui também!

U ε = ∫ 0 ∞ ε . i t d t

Substituindo, temos:

U ε = ∫ 0 ∞ 10 .     10 - 5 e - 2 . t d t

U ε = - 10 - 4 2 . e - 2 . t 0 ∞

U ε = - 10 - 4 2 ( 0 - 1 )

U ε = 5,0 × 10 - 5   J

Passo 4

d )

Para determinar a d.d.p V A - V B no final da fase 1 , precisamos lembrar da seguinte relação:

Q = C V

Para V A - V B , teremos:

V A - V B = Q C 2

Nós já sabemos quanto vale a capacitância C 2 , precisamos apenas determinar a carga total armazenada Q . Para isso, podemos pensar da seguinte forma, quando temos dois capacitores em série, temos que ambos devem armazenar a mesma carga Q , caso contrário, as cargas iriam se “mover” até atingir esse equilíbrio! Além disso, essa é a mesma carga Q que é armazenada no capacitor equivalente, se liga:

C e q = Q ε

Q = C e q . ε = 0,5   × 10 - 6 . 10

Q = 5 × 10 - 6 C

Agora é só substituir para achar V A - V B , temos:

V A - V B = Q C 2

V A - V B = 5 × 10 - 6 1 × 10 - 6

V A - V B = 5   V

Passo 5

e )

Agora que já temos a carga armazenada no capacitor C 2 ao fim da fase 1 , fica fácil determinar a energia armazenada!

U = 1 2 . Q 2 C

Para a energia armazenada em C 2 , temos:

U C 2 = 1 2 . Q 2 C 2

U C 2 = 5 × 10 - 6 2 2 × 10 - 6

U C 2 = 1,25 × 10 - 5 J

Passo 6

f )

No início da fase 3 , teremos que o capacitor C 2 , que está carregado, terá uma nova capacitância, por conta do dielétrico, ou seja, a d.d.p V C 2 entre seus terminais será diferente. Além disso, temos que o capacitor C 3 estará descarregado, ou seja, a d.d.p V C 3 entre seus terminais será nula.

Como queremos calcular a d.d.p nos terminais do resistor R 2 , e sabemos que V C 3 = 0 , basta calcular V C 2 , pois. Para isso, vamos começar calculando o no valor da capacitância:

C 2 ' = 1 10 . C 2

C 2 ' = 0,1   μ F

Como temos a carga armazenada no capacitor, podemos determinar V C 2 , se liga!

Q = C . V C 2

5 × 10 - 6 = 0,1 × 10 - 6 . V C 2

V C 2 = 50   V

Ou seja:

V C - V D = 50   V

No final da fase 3 , o circuito entra em equilíbrio, ou seja, os capacitor C 2 vai descarregar parcialmente, enquanto o capacitor C 3 irá carregar até que ambos atinjam um valor de carga, a partir do qual a corrente para de fluir no circuito, ou seja i = 0 , então:

V C - V D = R . i

V C - V D = 0

Passo 7

g )

No final da fase 3 , teremos que o capacitor C 1 continua com sua carga armazenada durante a fase 1 :

Q C 1 = 5 × 10 - 6 C

Para determinar as cargas dos capacitores C 2 e C 3 , devemos pensar na conservação da carga, no início da fase 3 , o capacitor C 2 tinha carga Q = 5 × 10 - 6 C , enquanto que o capacitor C 3 estava descarregado, pela conservação, temos:

Q C 2 + Q C 3 = Q

Além disso, temos:

Q C 2 = C 2 ' . V

Q C 3 = C 3 . V

Como a d.d.p será a mesma, temos:

Q C 2 = Q C 3 . C 2 ' C 3 = Q C 3 0,1 0,4 = Q C 3 4

Substituindo na equação da conservação, temos:

Q C 2 + Q C 3 = Q

Q C 3 4 + Q C 3 = Q

Q C 3 = 4 × 10 - 6 C

Para Q C 2 , temos:

Q C 2 = 4 × 10 - 6 4 = 1 × 10 - 6 C

Uffaaa....Cabô!

Resposta

a ) i t = 10 - 5 e - 2 . t   [ A ]  

b ) U R 1 = 2,5 × 10 - 5   J

c ) U ε = 5,0 × 10 - 5   J

d ) V A - V B = 5   V

e ) U C 2 = 1,25 × 10 - 5 J

f ) V C - V D = 50   V ; V C - V D = 0

g ) Q C 1 = 5 × 10 - 6 C ; Q C 2 = 1 × 10 - 6 C ; Q C 3 = 4 × 10 - 6 C

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