Exercícios Resolvidos de Circuito RC

Corrente e Resistores

Na figura abaixo, a força eletromotriz da fonte ideal é ε = 30   V , as resistências são R 1 = 20   k Ω e R 2 = 10   k Ω e o capacitor de capacitância C = 4,0 μ F está inicialmente descarregado. A chave S é fechada em t = 0 .

Determine, imediatamente após o fechamento de S :

a ) A corrente no resistor 1;

b ) A corrente no resistor 2;

c ) Transcorrido um tempo muito longo após o fechamento de S , qual é a carga do capacitor?

d ) Abrindo-se agora a chave S , determine a corrente em R 2 em função do tempo;

Passo 1

a ) A corrente no resistor 1;

Imediatamente após o fechamento da chave, a carga no capacitor é nula, assim a diferença de potencial no capacitor também será nula.

Assim, através da lei das malhas, percorrendo a malha que contém a fonte, o capacitor e a resistência R 1 , teremos:

ε - R 1 I 1 = 0

Logo:

I 1 = ε R 1 = 30 20 × 10 3 = 1,5     m A

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) A corrente no resistor 2;

Novamente, vamos usar a lei das malhas, mas agora percorrendo a malha que contém somente o capacitor e o resistor R 2 .

q C - R 2 I 2 = 0

Como falamos no passo anterior, assim que a chave S é fechada, a carga no capacitor é nula, logo:

q = 0

R 2 I 2 = 0

I 2 = 0

Passo 3

c ) Transcorrido um tempo muito longo após o fechamento de S , qual é a carga do capacitor?

Quando t → ∞ , o capacitor fica completamente carregado. Nessa situação, não passa mais nenhuma corrente pelo capacitor, que passa a circular apenas por R 2 .

Como R 2 e C estão em paralelo, a diferença de potencial entre os dois deve ser a mesma. Assim, vamos começar calculando a diferença de potencial em R 2 .

V 2 = R 2 I ∞

Onde I ∞ é a corrente quando t → ∞ .

Assim, percorrendo a malha que contém R 1 , R 2 e ε , teremos:

ε - R 1 + R 2 I ∞ = 0

I ∞ = ε R 1 + R 2

Portanto:

V 2 = R 2 I ∞

V 2 = R 2 ε R 1 + R 2

Novamente, como a diferença de potencial em R 2 deve ser igual à diferença de potencial no capacitor, teremos:

Q C = V 2

Q C = R 2 ε R 1 + R 2

Finalmente:

Q = R 2 C ε R 1 + R 2 = 10 × 10 3 × 4 × 10 - 6 × 30 10 × 10 3 + 20 × 10 3

Q = 40 × 10 - 6 C = 40 μ C

Passo 4

d ) Abrindo-se agora a chave S , determine a corrente em R 2 em função do tempo;

Quando abrimos a chave, o capacitor começa a descarregar, e o circuito fica resumido a:

Durante o descarregamento do capacitor, a corrente é dada por:

I 2 t = - Q R 2 C e - t R 2 C

O sinal negativo aparece mostrando que a corrente, agora, vai circular o sentido contrário ao da corrente durante o carregamento.

Caso você não lembre da expressão da corrente de cabeça, ela é encontrada resolvendo-se a equação diferencial:

R 2 I 2 + q C = 0

R 2 d q d t + q C = 0

d q d t + q R 2 C = 0

Resolvendo essa equação diferencial, encontraremos uma expressão para a carga no capacitor q t .

q = Q e - t R C

Para encontrar a expressão para a corre, basta derivar esse cara em função do tempo:

I 2 t = d q d t

I 2 t = - Q R 2 C e - t R 2 C = - 40 × 10 - 6 10 × 10 3 × 4 × 10 - 6 e - t 10 × 10 3 × 4 × 10 - 6

I 2 t = - 10 - 3 e - 25 t

Resposta

a )

I 1 = ε R 1 = 1,5   m A

b )

I 2 = 0

c )

Q = R 2 C ε R 1 + R 2 = 40 μ C

d )

I 2 t = - Q R 2 C e - t R 2 C = - 10 - 3 e - 25 t

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