Exercícios Resolvidos de Circuito RC

Circuitos

No circuito abaixo, a bateria de f e m   ε é ideal e o capacitor encontra-se inicialmente descarregado.

Após ligar a chave S , em t = 0 , calcule:

a ) A corrente que passa pelo resistor R 1 ;

b ) A corrente que passa pela chave S , imediatamente após ser ligada t = 0   s ;

c ) A carga do capacitor em função do tempo;

d ) A corrente através de R 2 em função do tempo;

Passo 1

a ) A corrente que passa pelo resistor R 1 ;

A corrente em R 1 será dada por:

ε = R 1 i 1

i 1 = ε R 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) A corrente que passa pela chave S , imediatamente após ser ligada t = 0   s ;

A corrente que passa pela chave S será a soma das correntes que passam por R 1 e por R 2 , logo:

i S = i 1 + i 2

No instante inicial o capacitor funciona como curto circuito, então é como se ele não estivesse no circuito. Sendo assim, a corrente em R 2 será dada por:

ε = R 2 i 2 → i 2 = ε R 2

Assim, a corrente que passa pela chave S será:

i S = ε R 1 + ε R 2

i S = ε 1 R 1 + 1 R 2

i S = ε R 1 + R 2 R 1 R 2

Passo 3

c ) A carga do capacitor em função do tempo;

Aplicando a lei das malhas na malha que contém ε , R 2 e C , teremos:

ε = q t C + R 2 i 2 t

Onde i 2 t = d q ( t ) / d t , logo:

ε = q t C + R d q t d t

ε R 2 = q t R 2 C + d q t d t

Resolvendo essa equação diferencial, teremos, para o carregamento do capacitor:

q t = C ε 1 - e - t R 2 C

Se você não lembrava essa de cabeça, relaxa, no próximo passo vamos fazer isso devagar. Se você se garantir em lembrar a fórmula pode ir direto pro passo 5.

Passo 4

d q t d t + q t R 2 C = ε R 2

Vamos começar reorganizando esse cara:

d q t d t = ε R 2 - q t R 2 C

d q t d t = C ε - q t R 2 C

Agora podemos separar as variáveis:

d q t C ε - q t = d t R 2 C

Agora basta integrar dos dois lados:

∫ 0 q t d q t C ε - q t = ∫ 0 t d t R 2 C

- ln ⁡ C ε - q t 0 q t = t R 2 C

ln ⁡ C ε - q t C ε = - t R 2 C

C ε - q t C ε = e - t R 2 C

C ε - q t = C ε e - t R 2 C

q t = C ε - C ε e - t R 2 C

Finalmente:

q t = C ε 1 - e - t R 2 C

Passo 5

d ) A corrente através de R 2 em função do tempo;

A corrente através de R 2 é dada por:

i 2 t = d q t d t

i 2 t = ε R 2 e - t R 2 C

Resposta

a )

i 1 = ε R 1

b )

i S = ε R 1 + R 2 R 1 R 2

c )

q t = C ε 1 - e - t R 2 C

d )

i 2 t = ε R 2 e - t R 2 C

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