Um capacitor C de placas planas e paralelas de área A = 1   m 2 , com separação d = 9   m m , tendo o vácuo como meio dielétrico, é conectado a um gerador de força eletromotriz V 0 = 9   V através da chave S 1 e de três resistores iguais R 3 = R 4 = R 5 = 2   k Ω , dispostos como na figura. O circuito possui também outros dois resistores R 1 = R 2 = 1   k Ω , conectados ao capacitor C através da chave S 2 .

Em todos os cálculos considere: e ≈ 3 (base dos logaritmos neperianos), ε 0 = 9 × 10 - 12   C 2 / N m 2 .

Considere as seguintes fases:

Fase 1: a chave S 2 está aberta e a chave S 1 é fechada por um tempo t = 3   μ s e depois aberta novamente.

Fase 2: com a chave S 1 aberta, a chave S 2 é fechada por muito tempo.

Determine:

(a) A capacitância C do capacitor.

(b) A tensão V C e a carga Q do capacitor C no final da Fase 1, ou seja, quando S 1 é aberta novamente. (Sugestão: analise a constante de tempo do circuito).

(c) A energia armazenada no capacitor durante o carregamento.

(d) A corrente que passa em R 1 e R 2 no instante de tempo t = 2   μ s após o início da Fase 2. (Sugestão: analise novamente a constante de tempo do circuito)

(e) A ddp V A B (sobre R 2 ) no instante t = 2   μ s .

(f) A energia total dissipada durante o descarregamento de C até o instante t = 2   μ s .

(g) A potência dissipada sobre R 1 e R 2 no instante t = 2   μ s .

Passo 1

(a) A capacitância C do capacitor.

A capacitância é dada por:

C = ε 0 A d = 9 × 10 - 12 × 1 9 × 10 - 3 = 1   n F .

Passo 2

(b) A tensão V C e a carga Q do capacitor C no final da Fase 1, ou seja, quando S 1 é aberta novamente. (Sugestão: analise a constante de tempo do circuito).

A tensão v C no capacitor em função do tempo pode ser escrita como:

v C t = V 0 1 - e - t / R C .

Nesse caso, R é a resistência equivalente ao combinar os resistores R 4 e R 5 em paralelo e esse resultado em série com R 3 . Assim sendo, R = 3   k Ω .

Para t = 3   μ s , temos:

v C t = 9 × 1 - 3 - 3 × 10 - 6 3 × 10 3 × 10 - 9   ,

v C t = 9 × 1 - 3 - 1 = 6   V .

A carga q no capacitor em função do tempo pode ser escrita como:

q t = C v C ( t ) ,

q t = 10 - 9 × 6 = 6   n C .

Passo 3

(c) A energia armazenada no capacitor durante o carregamento.

A energia armazenada no capacitor durante o carregamento é dada por:

U = q t 2 2 C = 6 × 10 - 9 2 2 × 10 - 9 = 18   n J .

Passo 4

(d) A corrente que passa em R 1 e R 2 no instante de tempo t = 2   μ s após o início da Fase 2.

A corrente que passa em R 1 e R 2 na Fase 2 é dada por:

i t = - q 0 R C e - t R C ,

onde R é a resistência equivalente, dada por R = R 1 + R 2 = 2   k Ω , e q 0 é a carga do capacitor no final da Fase 1 (começo da Fase 2), dada por q 0 = 6   n C .

No instante de tempo t = 2   μ s , temos:

i t = - 6 × 10 - 9 2 × 10 3 × 10 - 9 × 3 - 2 × 10 - 6 2 × 10 3 × 10 - 9 ,

i t = - 3 × 10 - 3 × 3 - 1 = - 1   m A ,

onde o sinal de negativo na corrente significa que, agora, ela está fluindo no sentido oposto ao anterior, na Fase 1.

Passo 5

(e) A ddp V A B (sobre R 2 ) no instante t = 2   μ s .

A ddp sobre R 2 no instante t = 2   μ s é dada por:

V A B = R 2 i t = - 10 3 × 1 × 10 - 3 = - 1   V .

Passo 6

(f) A energia total dissipada durante o descarregamento de C até o instante t = 2   μ s .

Vamos, inicialmente, calcular a carga no capacitor no instante t = 2   μ s :

q t = q 0 e - t R C ,

q t = 6 × 10 - 9 × 3 - 1 = 2   n C .

A energia no capacitor neste instante é dada, então, por:

U = q t 2 2 C ,

U = 2 × 10 - 9 2 2 × 10 - 9 ≈ 2   n J .

Assim sendo, a energia total dissipada U D durante o descarregamento de C será dada por:

U D = U 0 - U ,

onde U 0 é a energia no final da Fase 1 (início da Fase 2), dada por U 0 = 18   n J .

Logo,

U D = 18 × 10 - 9 - 2 × 10 - 9 = 16   n J .

Passo 7

(g) A potência dissipada sobre R 1 e R 2 no instante t = 2   μ s .

No instante t = 2   μ s , a corrente que passa pelos resistores R 1 e R 2 será:

i = 1   m A = 1 × 10 - 3 A

como vimos no item (d).

Assim sendo, as potências P 1 e P 2 dissipadas por R 1 e R 2 são dadas por:

P 1 = R 1 i 2 = 1 × 10 3 × 1 × 10 - 3 2

P 1 = 1 × 10 - 3   W .

P 2 = R 2 i 2 = 1 × 10 3 × 1 × 10 - 3 2

P 2 = 1 × 10 - 3   W .

Resposta

(a) C = 1   n F .

(b) V C = 6   V e Q = 6   n C .

(c) U = 18   n J .

(d) I = 1   m A .

(e) V A B = - 1   V .

(f) U = 16   n J .

(g) P 1 = P 2 = 1 × 10 - 3   W .

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