Duas placas paralelas condutoras de área A , separadas de uma distância d pelo meio dielétrico de permissividade elétrica ϵ , constituem um capacitor cuja capacitância aproximada é dada por:

C = ϵ . A d

Baseado nisso, considere a configuração da Figura 1 , constituída de uma bateria e três placas paralelas condutoras de determinada espessura não desprezível e equivalente a uma combinação de dois capacitores. As placas estão inicialmente descarregadas, têm áreas iguais a 100   c m 2 cada uma e estão separadas de 1   m m por meios dielétricos iguais de constante dielétrica k = 8 . (Nos cálculos, utilize: ϵ 0 = 9 × 10 - 12 F / m )

Considere as seguintes fases sucessivas:

Fase 1 :

As placas D e E são conectadas a uma bateria de fem igual a 10   V , conforme a Figura 1 . Nesta situação, determine:

a ) As cargas elétricas, com sinais, das placas D , I e E .

b ) A energia total armazenada nas regiões entre as placas.

Fase 2 :

A bateria é removida e, a seguir, os meios dielétricos entre as placas são substituídos pelo vácuo, conforme mostra a Figura 2 . Nesta situação determine:

c ) As d.d.p entre as placas: V D - V E , V D - V I e V I - V E .

d ) O trabalho externo W necessário para remover os dielétricos.

Fase 3 :

As placas D e E são conectadas entre si durante longo tempo por um fio com resistência de 1,0   M Ω , conforme mostra a Figura 3 . Nesta fase, determine:

e ) A intensidade e o sentido da corrente elétrica no fio em função do tempo.

f ) A energia dissipada no fio

g ) A carga elétrica das placas ao final desta fase.

Passo 1

Para determinar as cargas elétricas das placas, vamos primeiro achar o valor da capacitância, temos dois capacitores idênticos ligados em série, a capacitância de cada um deles é:

C = ϵ . A d

Lembre-se de usar as unidades no S.I!

C = 8 .   9 × 10 - 12 . 0,01 10 - 3

C = 7,2 × 10 - 10   F

Agora que temos a capacitância, vamos calcular a capacitância equivalente dos capacitores em série:

1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2

1 C e q = 1 7,2 × 10 - 10 +   1 7,2 × 10 - 10

C e q = 3,6 × 10 - 10

A carga de cada placa será dada pela seguinte relação:

Q = C . V

Pelo desenho, vemos que as cargas positivas irão se acumular na placa D , enquanto as negativas irão se acumular na placa E , permanecendo a placa I sem carga! As cargas ficam então:

Q D = C . V

Q D = 3,6 × 10 - 10 . 10

Q D = 3,6 × 10 - 9 C

Q I = 0

Q E = - 3,6 × 10 - 9 C

Passo 2

b )

A energia armazenada entre as placas é dada pela seguinte fórmula:

U = Q 2 2 . C

Substituindo, temos:

U = 3,6 × 10 - 9 2 2 .   3,6 × 10 - 10

Lembre-se que temos de usar a capacitância equivalente!

U = 1,8 × 10 - 8 J

Passo 3

c )

Ao retirar a bateria, as placas irão continuar com a mesma carga, por conta da conservação. Além disso, quando retiramos os dielétricos, temos que calcular a nova capacitância do arranjo. Ela será dada por:

C ' = C e q 8

Ao tirarmos o dielétrico de constante k = 8 , devemos apenas dividir a capacitância pela constante. Tá lembrado que no item a a gente teve que multiplicar?!

C ' = 4,5 × 10 - 11

Como sabemos que a carga permanece constante, temos que as diferenças de potencial serão:

Entre as placas D e E

Q = C . V

3,6 × 10 - 9 = 4,5 × 10 - 11 . V D - V E

V D - V E = 80   V

Portanto, entre as placas D e I , e I e E , temos:

V D - V I = V I - V E = 80 2

V D - V I = V I - V E = 40   V

Passo 4

d )

Para determinar o trabalho realizado para retirar o material dielétrico, precisamos calcular a energia armazenada na nova configuração e retirar a energia armazenada na configuração antiga, ainda bem que já calculamos isso no item b .

U = Q 2 2 . C

U ' = 3,6 × 10 - 9 2 2 .   4,5 × 10 - 11

U ' = 1,44 × 10 - 7 J

O trabalho será:

W = Δ U = U ' - U

W = 1,44 × 10 - 7 - 1,8 × 10 - 8

W = 1,26 × 10 - 7   J

Passo 5

e )

A situação descreve um circuito RC, nesse tipo de circuito, quando o capacitor descarrega, temos que a corrente é dada pela seguinte fórmula:

i = - ε R . e - t τ

Onde ε é a d.d.p, R é a resistência e τ = R . C = 1,0 × 10 6 . 4,5 × 10 - 11 = 4,5 × 10 - 4   , substituindo os valores, temos:

i = - 80 1,0 × 10 6 . e - t 4,5 × 10 - 5

i = - 8,0 × 10 - 5 . e - t 4,5 × 10 - 5

A corrente irá circular da placa D em direção a placa E .

Passo 6

f )

Ao descarregar totalmente, toda a energia armazenada no capacitor é dissipada pelo fio, desse modo, temos que a energia dissipava é:

U ' = 1,44 × 10 - 7 J

Passo 7

g )

Após descarregar totalmente as placas D e E passaram a ter carga nula, enquanto que a placa I , que já tinha carga nula, permanecerá assim!

Q D = Q E = Q I = 0

Resposta

a )   Q D = 3,6 × 10 - 9 C ; Q I = 0 ; Q E = - 3,6 × 10 - 9 C

b )   U = 1,8 × 10 - 8 J

c )   V D - V E = 80   V ; V D - V I = V I - V E = 40   V

d )   W = 1,26 × 10 - 7   J

e )   i = - 8,0 × 10 - 5 . e - t 4,5 × 10 - 5 ; D → E

f )   U ' = 1,44 × 10 - 7 J

g ) Q D = Q E = Q I = 0

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