2 – No circuito da figura ao lado, uma fonte de f e m V está inicialmente ligada a uma chave S , que pode ser configurada para ligaros pontos c - a ou c - b . Em cada ramo do circuito há um capacitor, C 1 ou C 2 , e um resistor R em série com o capacitor C 1 . Os capacitores encontram-se descarregados inicialmente.

b) Depois de um longo tempo, a corrente cessa no resistor R . Neste instante, a chave S é colocada na posição c - b , e a contagem do tempo é zerada. Apresente a equação diferencial que rege as cargas dos capacitores e a corrente com o tempo.

c) Lembrando que a carga inicial do capacitor C 2 é nula, encontre uma expressão que descreve a corrente em função do tempo da nova configuração do circuito, com a chave na posição c - b .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos um circuito com uma fonte de tensão f e m , dois capacitores ( C 1 e C 2 ), um resistor R e uma chave S .

Inicialmente a chave S está ligando a em c e assim, o capacitor C 1 se carrega totalmente.

A partir desse instante, a chave passa a conectar os pontos b e c . Nosso objetivo é obter a equação que descreve as cargas e a corrente com o tempo no circuito!

E aí! Como fazemos isso? 🤔🤔

Para obter essa equação, vamos aplicar a ideia de análise de malhas na malha que se forma entre os capacitores e o resistor.

Com a equação obtida, podemos obter a função corrente do circuito.

Bora começar? 😁

Passo 2

Na análise de malhas, fazemos com que a soma das tensões de uma malha é igual a 0 .

O nosso novo circuito, desconsiderando os componentes desnecessários, é dado por

A tensão no resistor, é obtido a partir da lei de ohm V R = R · i t . Já nos capacitores a tensão é obtida por V C = q t C . Ou seja, iniciando a equação, vamos obter

- V R - V C 1 - V C 2 = 0

Perceba que as tensões são negativas pois os componentes são consumidores de energia, não geradores...

Continuando substituindo os valores, sendo q 1 t e q 2 t as cargas nos capacitores C 1 e C 2 , respectivamente.

- R · i t - q 1 t C 1 - q 2 t C 2 = 0

Como i t = d q t d t , temos

- R · d q R t d t - q 1 t C 1 - q 2 t C 2 = 0

Multiplicando por - 1 ...

R · d q R t d t + q 1 t C 1 + q 2 t C 2 = 0

Dividindo os dois lados por R

d q R t d t + q 1 t R C 1 + q 2 t R C 2 = 0

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Podemos desenvolver um pouco mais essa equação

Pela conservação de energia entre os capacitores, podemos dizer que q 0 = q 1 t + q 2 t onde q 0 é a carga inicial em C 1 . Portanto q 1 t = q 0 - q 2 t

E que toda a carga que sai de C 1 para C 2 passa por R , logo q R t = q 2 t .

Fazendo essas substituições...

d q 2 t d t + q 0 - q 2 t R C 1 + q 2 t R C 2 = 0

d q 2 t d t + q 0 R C 1 - q 2 t R C 1 + q 2 t R C 2 = 0

Organizando um pouquinho...

d q 2 t d t - q 2 t R C 1 + q 2 t R C 2 = - q 0 R C 1

d q 2 t d t + 1 R C 2 - 1 R C 1 q 2 t = - q 0 R C 1

Assim, a carga EDO que gera a função carga no capacitor C 2 é

d q 2 t d t + C 1 - C 2 R C 2 C 1 q 2 t = - q 0 R C 1

E como a variação da carga no tempo é igual a corrente, ou seja, d q t d t = i t , logo

i t + C 1 - C 2 R C 2 C 1 q 2 t = - q 0 R C 1

i t = - q 0 R C 1 - C 1 - C 2 R C 2 C 1 q 2 t

E essa é a função que descreve a corrente no circuito!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

d q 2 t d t + C 1 - C 2 R C 2 C 1 q 2 t = - q 0 R C 1

i t = - q 0 R C 1 - C 1 - C 2 R C 2 C 1 q 2 t

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