Exercícios Resolvidos de Força Centrípeta

Torque

Um brinquedo comum de criança consiste em duas pequenas esferas de madeira amarradas por um fio, de massa desprezível e comprimento 2 L , e que são postas para colidir acima e abaixo do ponto de sustentação. No instante retratado pelo desenho, cada bola tem uma velocidade linear v e o fio está esticado. Considere que o eixo de rotação é fixo.

  1. Desenhe as forças atuando em cada esfera no instante mostrado no desenho.
  2. Calcule o módulo das acelerações centrípeta e tangencial em cada esfera.
  3. Qual é a tração no fio neste instante ?
  4. Calcule os torques da força peso e tração em cada uma das esferas, indicando direção e sentido, em relação ao eixo de rotação fixo.
  5. Calcule o momento angular de cada bola em relação ao eixo de rotação fixo, e o momento angular total do sistema.

Passo 1

a):

Onde:

P → : Peso.

T → : Tensão.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

Calcular o módulo da aceleração centrípeta é fácil, só usar a equação:

F c t p = m v 2 R

Onde:

R = L

Então:

F c t p = m v 2 L → a c t p = v 2 L

Ah, você pensou em calcular fazendo a soma da tensão amis a componente do peso na direção da tensão? Tipo assim:

F c t p = T + P c o s θ

Bom, até ta certo, mas lembre-se que nós não sabemos o valor de T .

Na verdade, a gente vai usar esse caminho pra achar T ,   mas isso são cenas dos próximos capítulos.

Agora, pra se calcular a aceleração tangencial, basta decompor o peso nessa direção:

P s e n θ = m a

m g s e n θ = m a

a t g = g s e n θ

Passo 3

c):

Como eu disse, agora vamos usar:

F c t p = T + P c o s θ

m v 2 L = T + m g c o s θ → T = m v 2 L - m g c o s θ = m v 2 L - g c o s θ

Passo 4

d):

Bom, a tensão em relação ao eixo de rotação não efetua torque, já que ela age na própria direção do fio. Assim:

τ → t e n s ã o 1 = τ → t e n s ã o 2 = d → x T → = 0

Isso vale pras duas esferas. Já pro peso, vamos ter que analisar cada uma:

A bolinha da esquerda:

Bem, o peso tem uma componente que efetua um torque e uma que não. A componente na direção da corda, não efetua torque, mas o tangencial sim. A bolinha esquerda no sentido anti-horário, vamos atribuir o valor negativo ao sentido anti-horário, assim:

τ p e s o → 1 = d → x P → → τ p e s o 1 → = - m g s e n θ L z ^

Beleza?

Pra segunda bolinha:

Nesse caso, a segunda bolinha gira no sentido horário, o que a gente chamou de positivo, então:

τ p e s o 2 → = d → x P → →   τ p e s o 2 → = m g s e n θ L z ^

Passo 5

e):

Bom galera, o momento angular pode ser escrito como:

L → = I ω →

Vamos calcular o momento de inércia de uma partícula em relação ao eixo?

É simples assim:

I = m L 2

E como sabemos que:

ω = v L

Então:

ω → = v L z ^

Pro sentido horário e :

ω → = - v L z ^

Pro sentido anti-horário. Então:

Particula 1:

L → 1 = - m L 2 v L z ^ = - m v L   z ^

E a partícula 2:

L → 2 = m v L z ^

Assim, o momento do sistema é:

L → = L 1 → + L 2 → = - m v L   z ^ + m v L z ^ = 0 →

Resposta

a):

b):

a c t p = v 2 L

a t g = g s e n θ

c):

L → 1 = - m v L   z ^

L → 2 = m v L z ^

L → = 0 →

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