Em uma competição de uma olimpíada de inverno um esquiador de massa m deve descer uma pista de neve em formato de 1 / 4 de círculo de raio R , como ilustrado ao lado. Sabendo que ele parte do repouso e que a razão entre o quadrado da sua velocidade e a altura h é igual ao dobro da aceleração da gravidade g , responda os itens abaixo em função de m , R e g . Considere o atrito desprezível.

a) Faça um diagrama de corpo livre representando as forças que agem no esquiador, quando ele está à meia altura da pista.

b) Nesta posição, calcule o módulo da velocidade do esquiador e direção que ela faz com eixo vertical.

c) Ainda nesta posição, calcule o módulo da aceleração resultante.

d) Agora o esquiador chega no final da pista. Calcule nesta posição a força normal que a neve faz sobre ele.

Passo 1

a)

As únicas forças que atuam sobre o esquiador é a força normal perpendicular à superfície e a força peso que sempre aponta para baixo.

Além disso, como o problema nos diz que o esquiador está a meia altura, então h = R / 2 . Com isso podemos montar também um triângulo retângulo para descobrir a angulação através de relação trigonométrica.

sen ⁡ θ = R / 2 R = 1 2

θ = 30 °

Agora podemos fazer um desenho completo:

Passo 2

b)

O problema nos disse que: “a razão entre o quadrado da sua velocidade e a altura h é igual ao dobro da aceleração da gravidade g ”. Escrevendo isso matematicamente, temos:

v 2 R / 2 = 2 g

v = R g

A velocidade do esquiador é sempre tangente a trajetória. Como queremos saber o ângulo que ela faz com a vertical e já temos a força peso como referência de vertical, basta saber o ângulo que a velocidade faz com a força peso. Pela figura, vemos que esse ângulo é justamente 90 ° - 60 ° = 30 ° .

Portanto, a velocidade faz um ângulo de 30 ° com a direção vertical.

Passo 3

c)

Temos duas acelerações, a centrípeta e a tangencial. Vamos calcular elas primeiro para depois calcular a aceleração resultante.

A aceleração centrípeta tem a fórmula:

a c p = v 2 R

Substituindo os dados:

a c p = R g 2 R = R g R = g

Agora a aceleração tangencial é justamente a parcela da gravidade que influencia no movimento do esquiador. Ou seja:

a t = g sen ⁡ 60 ° = g 3 2

Agora é só usar a fórmula do módulo de um vetor para encontrar o módulo da aceleração resultante:

a R e s u l = a c p 2 + a t 2

a R e s u l = g 2 + g 3 2 2 = g 7 2

Passo 4

d)

Usando novamente o enunciado: “a razão entre o quadrado da sua velocidade e a altura h é igual ao dobro da aceleração da gravidade g ”. Só que agora a altura h vale R .

v 2 R = 2 g

v 2 = 2 g R

Aplicando a segunda lei de Newton na vertical, sabemos que a aceleração produzida tem que ser a aceleração centrípeta:

N - m g = m v 2 R

Substituindo o v 2 que encontramos:

N = 2 g R m R + m g

N = 3 m g

Resposta

a)

b) v = R g ; Ela faz um ângulo de 30 ° com a direção vertical.

c) a R e s u l = g 7 2

d) N = 3 m g

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