Um corpo de massa m é abandonado do alto de um plano inclinado (1), que possui altura h em relação ao solo, e percorre seu comprimento S livre de forças de atrito até entrar em um movimento de “loop” (2), conforme mostra a figura. Use g para a aceleração da gravidade.

a) Utilizando um eixo de coordenadas com a direção x paralela ao plano inclinado, represente o diagrama de corpo livre para a situação na qual o corpo se encontra na posição (1) e descreva, a partir da segunda lei de Newton, as componentes das forças que atuam no corpo para cada eixo.

b) Escreva a expressão para a velocidade V 2 em função da altura de lanamento h com que o corpo chega à posição (2) indicada na figura.

c) Escreva a segunda lei de Newton por componentes para a situação na qual o corpo se encontra na posição (4) com velocidade V 4 e obtenha uma expressão para a altura mínima h m í n , em função do raio R , de onde o corpo deve ser lançado para que consiga completar a volta no loop.

d) Considerando que o corpo abandonado de uma altura h = 5   m e o loop tem um raio R = 2   m , sua velocidade V 3 no ponto (3) é 7,67   m / s . Calcule os módulos e direções da força normal e da força resultante que atuam no corpo ao passar naquele ponto. Use g = 10   m / s 2 .

Passo 1

a)

O diagrama de corpo livre ficará:

Aplicando a segunda lei no eixo x :

∑ F x = m . g . sen ⁡ θ = m .   a x

a x = g . sen ⁡ θ

Aplicando a segunda lei no eixo y :

∑ F y = F N - m . g . cos ⁡ θ = m .   a y

Como a bola não se movimenta no eixo y , a y = 0 . Logo:

F N = m . g . cos ⁡ θ

Passo 2

b)

Na direção do plano, podemos aplicar a fórmula:

V 2 = V 0 2 + 2 . a . Δ S

Substituindo:

V 2 2 = 0 2 + 2 . ( g . sen ⁡ θ ) . S

Entretanto a questão não quer a velocidade em função do comprimento da rampa. Ele quer em função da altura. Mas podemos relacionar eles por:

h = S . sen ⁡ θ

Agora é só substituir:

V 2 = 2 g h

Passo 3

c)

Na posição (4), podemos fazer o seguinte diagrama de forças.

Aplicando a segunda lei por componentes:

No eixo x :

∑ F x = 0

No eixo y :

∑ F y = - m . g - F N = m . - a

Lembrando que a força resultante é a força centrípeta. Então podemos substituir essa aceleração por:

- m . g - F N = m . - a c p

Substituindo a fórmula da aceleração centrípeta:

m . g + F N = m . V 4 2 R

Muito bem, no limite para se completar a volta, temos uma velocidade mínima para que o corpo não perca contato com a superfície. Essa velocidade pode ser calculada se nós tendermos a força normal (força de contato com a superfície) à zero. Portanto:

m g = m . V 4 2 R

V 4 2 = g R

Certo, só que não queremos a velocidade mínima em função do raio, queremos a altura mínima em função do raio. Então vamos usar conservação de energia entre os pontos (1) e (4).

m . g . h m í n = m V 4 2 2 + m g h 4

Agora é só substituir a velocidade que encontramos e a altura que é igual a 2 R .

m . g . h m í n = m . g . R 2 + m . g . 2 R

h m í n = R 2 + 2 R

h m í n = 5 R 2

Passo 4

d)

Podemos montar o seguinte diagrama de forças:

Aplicando a segunda lei de Newton por componentes:

No eixo x :

∑ F x = F N = m .   a c p

F N = m . V 3 2 R

F N = m . 7,67 2 2 = 29,4 m

No eixo y :

∑ F y = - m . g = m .   10

∑ F y = - 10 m

A intensidade da força resultante será:

F R 2 = ∑ F x 2 + ∑ F y 2

F R 2 = 29,4 m 2 + - 10 m 2

F R ≈ 31 m

Direção:

t g   θ = 10 29,4

θ = - 18,7 °

Resposta

a)

F N = m . g . cos ⁡ θ

b)

V 2 = 2 g h

c)

h m í n = 5 R 2

d)

F N = 29,4 m

Direção horizontal.

F R ≈ 31 m

θ = - 18,7 °

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