Exercícios Resolvidos de Força Centrípeta

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 158 -Modificado

Um pequeno bloco de massa m é colocado no interior de um cone invertido que gira em torno do eixo vertical. As paredes do cone fazem um ângulo β com a vertical. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e o cone é μ s . Para que o bloco permaneça a uma altura h acima do vértice do cone, qual deve ser o valor mínimo de v ?

Passo 1

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças no DCL

  1. A massa dele é considerada?
  2. Sim, ele tem massa.

  3. Ela esta encostada em alguma superfície?
  4. Sim, o sistema está apoiado no chão.

  5. Tem algum fio?
  6. Não, não existe fio atuando.

  7. Tem mola?

Não, não existe mola atuando.

O DCL do bloco fica

Nesse caso, por mais que estejamos em um plano inclinado, como ele está rodando é importante determinarmos a resultante na direção do centro da curva. E como ele pretende que ele não caia é melhor, neste caso, usarmos os e i x o s em relação ao chão e não em relação a superfície inclinada.

Está mega confuso essas forças né? Vamos tentar ver em um esquema melhor

Como fizemos essa mudança de ângulo? Precisamos lembrar um pouco sobre geometria. Vamos entender melhor isso

Repara que

β + θ = 90 °

Além disso

α + θ = 90 °

Então

α = β

Além disso, o ângulo do e i x o   y com a F → a t é um ângulo entre retas paralelas. Também sendo β .

Voltando à física.

Dados μ s m v T β

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fazer o equilíbrio no e i x o   y

P = N y + F a t y

Vamos começar encontrando a componente y da F → a t , usando a “regra do COlado, SEparado”.

F a t y = F a t ⋅ cos ⁡ β = N μ s cos ⁡ β

Passo 3

Vamos agora achar a componente y da N → , usando a “regra do COlado, SEparado”.

N y = N ⋅ sen ⁡ β

Teremos então

m g = N sen ⁡ β + N μ s cos ⁡ β

N = m g sen ⁡ β + μ s cos ⁡ β

Passo 4

Vamos agora ao e i x o   x

Sabemos que o módulo da força centrípeta deve ser igual ao módulo na componente x da normal menos a componente x da F a t → .

Vamos primeiro achar o módulo de N x

N x = N ⋅ cos ⁡ β

N x = m g cos ⁡ β sen ⁡ β + μ s cos ⁡ β

Passo 5

Para o módulo da força centrípeta, devemos saber o raio do movimento também, já que a velocidade é algo que queremos descobrir.

O raio pode ser resolvido olhando para essa figura e usando trigonometria.

tan ⁡ β = R h

R = h tan ⁡ β

Passo 6

Para a componente x da força de atrito, temos:

F a t x = N ⋅ μ s sen ⁡ β

F a t x = m g sen ⁡ β + μ s cos ⁡ β ⋅ μ s sen ⁡ β

Teremos então

m v 2 R = N x - F a t x

m v 2 h tan ⁡ β = m g cos ⁡ β sen ⁡ β + μ s cos ⁡ β - m g sen ⁡ β + μ s cos ⁡ β μ s sen ⁡ β

v 2 = tan ⁡ β ⋅ h g ( cos ⁡ β - μ s sen ⁡ β ) sen ⁡ β + μ s cos ⁡ β

v = tan ⁡ β ⋅ h ⋅ g ⋅ ( cos ⁡ β - μ s sen ⁡ β ) sen ⁡ β + μ s cos ⁡ β

Resposta

v = h g ( cos ⁡ β sen ⁡ β - μ s sen 2 ⁡ β ) ( cos ⁡ β . sen ⁡ β + μ s cos 2 ⁡ β )

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