Você gira uma bola em círculos em um plano vertical, usando uma corda de comprimento 15   c m . Existe uma velocidade angular mínima ω m i n que você deve manter para que a bola execute o círculo completo. Se você girar a bola com velocidade angular menor do que ω m i n , a corda fica frouxa e a bola não consegue chegar ao ponto mais alto do círculo. Qual o valor de ω m i n em rpm?

Dados: g = 10   m \ s 2

(A) 77   rpm

(B) 5,2   rpm

(C) 4,8 × 10 2 rpm

(D) 7,7 rpm

(E) 50 rpm

Passo 1

A situação é a seguinte. A gente está girando a bolinha em azul na vertical:

Se a bolinha está realizando um movimento circular, existe uma força centrípeta associada a esse movimento.

Mas quais forças que estão atuando sobre a bolinha?

Ao longo de todo o movimento, há uma força peso P → apontando para baixo e uma força de tração T → puxando no sentido da corda:

Entretanto, se queremos achar a velocidade angular mínima ω m i n com que a bolinha consegue realizar esse movimento. Isso significa que a bola está quaaaaase afrouxando a corda, ou seja, a força de tração é nula nesse ponto mais alto:

T = 0

Sobra apenas a força peso P → :

Assim, ela será a única força atuando como força centrípeta.

Podemos igualar com a expressão dessa força:

P = F c t p

m g = m v 2 R

g = v 2 R

Passo 2

Porém, como queremos achar em função da velocidade angular ω e não da velocidade linear, podemos utilizar a relação:

v = ω R

Substituindo isso, temos:

g = ω R 2 R

g = ω 2 R 2 R

g = ω 2 R

Passo 3

Então, no ponto mais alto, a velocidade angular mínima será:

g = ω m i n 2 R

ω m i n = g R

Substituindo os valores, temos

ω m i n = 10 0,15

ω m i n = 2 0,03

ω m i n = 200 3

ω m i n = 8,16   r a d / s

Assim, a velocidade angular mínima para que a bola realize o movimento é aproximadamente:

ω m i n = 8,16   r a d / s

Mas queremos na unidade de rpm (rotações por minuto).

Passo 4

A unidade de radianos por segundo ( r a d / s ) mostra um deslocamento angular por segundo, ou seja, se cada volta tem 2 π , podemos dividir ω por esse valor que teremos o número de rotações por segundo:

ω m i n = 8,16 2 π = 1,29   r p s

Como queremos o número de rotações por minuto, basta multiplicar esse número por 60 :

ω m i n = 1,29 × 60 = 77   r p m

Ficamos com a letra (A).

Resposta

Letra (A)

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