Uma esfera muito pequena de massa m está amarrada a uma haste vertical giratória por dois fios ideiais de comprimento l . A haste gira de modo que os fios fiquem tensos formando com a haste um triângulo que mantem seu formato inalterado durante o movimento, conforme ilustra a figura. Sabendo que os fios de cima e de baixo fazem o mesmo ângulo θ com a horizontal e que a velocidade de rotação da esfera tem módulo constante v , determine

  1. O módulo e a orientação (direção e sentido) da força resultante F → R sobre a esfera;
  2. O módulo T 1 da tensão no fio superior e o módulo T 2 da tensão no fio inferior;
  3. O limite mínimo v m i n do módulo da velocidade de rotação da esfera em torno da haste para que o fio inferior se mantenha esticado.

Passo 1

Vamso começar escrevendo os dados do enunciado

Dados l m θ v g

Vamos fazer isso para verificar depois cada resposta para ver se está de acordo com os dados do problema.

Passo 2

a)

Como a esfera não está subindo nem descendo, ela só vai ter força resultante no sentido do centro da rotação, já que ela está girando.

Que força vai ser essa? A força centrípeta

F R = F c p = m v 2 R

Mas repara que não temos o raio de rotação, vamos dar uma olhada na geometria desse desenho

Podemos “decompor” l par achar R , usando a “regra do COlado, SEparado”.

R = l ⋅ cos ⁡ θ

Vamos ter ali na fórmula da força centrípeta

F R = m v 2 l cos ⁡ θ

Passo 3

b)

Para descobrirmos as forças devemos fazer o DCL da esfera

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças

  1. A massa dele é considerada?
  2. Sim, ele tem massa.

  3. Ela esta encostada em alguma superfície?
  4. Não, ele não está em contanto com nenhuma superfície.

  5. Tem algum fio?
  6. Sim, temos dois fios atuando.

  7. Tem mola?
  8. Não, não existe mola atuando.

  9. Tem atrito?

Não, não existe atrito.

O DCL fica

Passo 4

Vasmo fazer agora a análise das forças no e i x o   y , isso porque ele está em equilíbrio. Não vai fazer muita diferença porque vamos precisar fazer nos dois eixos

P + T 2 y = T 1 y

Devemos encontrar T 2 y usando a “regra do COlado, SEparado”.

T 2 y = T 2 sen ⁡ θ

Devemos encontrar T 1 y usando a “regra do COlado, SEparado”.

T 1 y = T 1 sen ⁡ θ

m g + T 2 sen ⁡ θ = T 1 sen ⁡ θ

m g sen ⁡ θ = T 1 - T 2

Passo 5

Vamos agora fazer no e i x o   x , lembrando que a força resultante é a força centrípeta que encontramos ali em cima

F c p = T 1 x + T 2 x

Devemos encontrar T 2 x usando a “regra do COlado, SEparado”.

T 2 x = T 2 cos ⁡ θ

Devemos encontrar T 1 x usando a “regra do COlado, SEparado”.

T 1 x = T 1 cos ⁡ θ

m v 2 l cos ⁡ θ = T 1 cos ⁡ θ + T 2 cos ⁡ θ

m v 2 l cos 2 ⁡ θ = T 1 + T 2

Passo 6

Vasmo escrever as duas equações que temos

m g sen ⁡ θ = T 1 - T 2 m v 2 l cos 2 ⁡ θ = T 1 + T 2

Podemos somar as duas equações

m g sen ⁡ θ + m v 2 l cos 2 ⁡ θ = T 1 - T 2 + T 1 + T 2

2 T 1 = m g sen ⁡ θ + m v 2 l cos 2 ⁡ θ

T 1 = m g 2 sen ⁡ θ + m v 2 2 l cos 2 ⁡ θ

Passo 7

Podemos agora, multiplicar a primeira equação por - 1

- m g sen ⁡ θ = - T 1 + T 2 m v 2 l cos 2 ⁡ θ = T 1 + T 2

Fiz isso porque ao somar, dessa vez, sobre apenas T 2

2 T 2 = m v 2 l cos 2 ⁡ θ - m g sen ⁡ θ

T 2 = m v 2 2 l cos 2 ⁡ θ - m g 2 sen ⁡ θ

Passo 8

c)

Para o fio ficar esticado, a força nele deve ser pelo menos zero. Isso nos diz que a situação limite é

T 2 = 0

m v m í n 2 2 l cos 2 ⁡ θ - m g 2 sen ⁡ θ = 0

m v m í n 2 2 l cos 2 ⁡ θ = m g 2 sen ⁡ θ

v m í n 2 = g l cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ

v m í n = g l cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ

Resposta

  1. F R = m v 2 l cos ⁡ θ
  2. T 1 = m g 2 sen ⁡ θ + m v 2 2 l cos 2 ⁡ θ
  3. T 2 = m v 2 2 l cos 2 ⁡ θ - m g 2 sen ⁡ θ

  4. v m í n = g l cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ

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