Exercícios Resolvidos de Força Centrípeta

UFRJ-Prova Final-2014.2-Múltipla Escolha n°5

Um pêndulo cônico é constituído por uma partícula presa a um fio ideal que faz um ângulo θ com a vertical, de modo que a partícula esteja em movimento circular uniforme em um plano horizontal com o centro da trajetória no ponto C da vertical, como indica a figura. Em um dado instante, em que a partícula está em um ponto P , sua aceleração é um vetor de

(a) módulo g , vertical apontando pra baixo

(b) módulo g cos ⁡ θ , apontando de P pra C

(c) módulo g tan ⁡ θ , apontando de C pra P

(d) módulo g tan ⁡ θ , apontando de P pra C

(e) módulo g cos ⁡ θ , apontando de C pra P

Passo 1

Num movimento circular, tem a aceleração tangencial, tangente ao movimento, e a aceleração centrípeta, que aponta pro meio da trajetória.

Mas o movimento é circular uniforme! Isso significa que o módulo da velocidade da partícula não varia, então a partícula não tem aceleração tangencial. Portanto, a sua aceleração é só centrípeta.

Ou seja, o vetor aceleração da partícula aponta de P pra C .

Show, só assim de bobeira já eliminamos 3 alternativas!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E já que estamos falando de aceleração, por que não usar a 2ª lei de Newton? As únicas forças atuando na partícula são seu peso P → e a tração no fio T → :

Passo 3

Mas já que a aceleração é só centrípeta, a boa é decompor essas forças pra elas terem uma componente centrípeta. No caso a P → não dá pra decompor porque ela já é perpendicular à direção centrípeta, mas a T → dá!

Vou considerar esse triângulo que tá aparecendo aí na figura de cima. Aplicando uma trigonometria básica, a decomposição da força T → vai ser:

Passo 4

A força resultante na direção centrípeta é T → sen ⁡ θ , então, pela 2ª lei de Newton:

T → sen ⁡ θ = m a → c p

Mas já vimos que a aceleração total da partícula é igual à sua aceleração centrípeta, então podemos trocar a → c p por a → , o que dá:

T → sen ⁡ θ = m a →

⇒ T sen ⁡ θ = m a

⇒ a = T sen ⁡ θ m

Então pra achar a , precisamos do valor de T !

Passo 5

A partícula não tem movimento no sentido vertical, então as forças T → cos ⁡ θ   e P → se cancelam:

T → cos ⁡ θ + P → = 0

⇒ T cos ⁡ θ - P = 0

E P = m g , então:

T cos ⁡ θ = m g

⇒ T = m g cos ⁡ θ

Passo 6

Show! Então vamos ter:

a = T sen ⁡ θ m

⇒ a = m g cos ⁡ θ ∙ sen ⁡ θ m

⇒ a = g sen ⁡ θ cos ⁡ θ = g tan ⁡ θ

Resposta

Alternativa (d)

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