Questão 3). Um disco de metal de massa m 1 descreve uma circunferência horizontal de raio r sobre uma mesa sem atrito, de altura h , enquanto permanece ligado a um cilindro de massa m 2 pendurado por uma corda inextensível, de massa desprezível, que passa por um furo no centro da mesa, conforme representa a figura ao lado (sem escala). O disco ( m 1 ) se move com velocidade constante, em módulo, para manter o cilindro ( m 2 ) em repouso. A corda se rompe e o disco de massa m 1 é lançado horizontalmente, chegando ao solo depois de percorrer uma distância horizontal R . Sabendo que m 2 = 3 m 1 e que o alcance R é o dobro da altura da mesa h , determine o raio r da circunferência descrita pelo disco antes da corda se romper. Escreva sua resposta em termos de h . 🤔

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos dois discos, um de massa m 1 em cima de uma mesa sem atrito de altura h e outro de massa m 2 , eles estão presos por uma corda de massa desprezível, inextensível que passa por um furo no meio da mesa.

O disco m 1 está descrevendo movimentos circulares constantes enquanto o disco m 2 está parado e pendurado na outra extremidade da corda.

Após um tempo, a corda se quebra, os discos são separados e o disco m 1 é lançado de cima da mesa percorrendo uma distância horizontal R .

Além disso, foi dito que a massa m 2 é 3 vezes m 1 , ou seja, m 2 = 3 m 1 . E também que R é o dobro de h , logo, R = 2 h

Grandinha, não é? 👀

O que queremos saber é: qual era o raio r do movimento inicial do disco m 1 (em termos de h )?

Tem ideia de como obter esse valor?? 🤔🤔

Bora ver! 😁

Passo 2

Primeiramente o sistema estava em equilíbrio já que o disco m 2 estava parado no ar (suspenso pela corda). Se m 2 estava parado, a resultante das forças que agiam sobre ele era 0 .

Analisando as forças que atuam nos discos vemos que a força peso puxa m 2 para baixo e consequentemente puxa m 1 em direção ao centro da mesa.

As forças de tração T na corda se cancelam então para esse sistema estar em equilíbrio, dizemos que a força centrifuga (o mesmo vetor que a F C com o sentido oposto) cancela a força peso P 2 .

Perceba que se eles fossem diferentes, o disco m 2 não ficaria parado.

Logo

F C = P 2

O que é a força centrípeta? Sabemos que essa força é dada por

F C = m a c = m V 2 r

( a c = aceleração centrípeta)

E a força peso P 2 é dada por

P 2 = m 2 g

Se F C = P 2 , substituindo m por m 1 em F c , então

m 1 V 2 r = m 2 g

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Vamos isolar r em um lado da igualdade,

r = m 1 V 2 m 2 g

Queremos obter r em função de h , então vamos investigar mais um pouquinho.

Após a quebra da corda, o disco m 1 é lançado de cima da mesa resultando em uma trajetória oblíqua.

Em um lançamento obliquo, o objeto é composto por duas componentes de velocidade.

Horizontalmente a velocidade é constante e verticalmente a velocidade é variável com a aceleração apontando para baixo devido à gravidade.

Voltando a equação de r , vemos que a velocidade da aceleração centrípeta se transforma na velocidade horizontal do movimento, ou seja, agora vamos tratar V como

r = m 1 V x 2 m 2 g

Se horizontalmente o movimento é constante, então podemos dizer que a velocidade é o espaço percorrido R dividido pelo tempo.

V x = R t

No enunciado foi dito que R vale 2 h . Fazendo essa substituição, temos

V x = 2 h t

Entendeu essa parte? 😁

Passo 4

Já verticalmente podemos usar a formula ∆ r y = V 0 y t + a t 2 2

O espaço vertical percorrido corresponde à altura da mesa, ou seja, a h .

Inicialmente a velocidade em y é 0 já que o disco parte de uma superfície horizontal.

A aceleração a nesse caso é dada pela aceleração gravitacional (vamos considerar positivo).

Fazendo essas substituições, temos

h = g t 2 2

isolando t em um lado da equação

t 2 = 2 h g

Elevando os dois lados de V x = 2 h t   ao quadrado, temos

V x 2 = 2 h t 2

Como a b 2 = a 2 b 2 , então

V x 2 = 4 h 2 t 2

Substituindo t 2 = 2 h g em V x 2

V x 2 = 4 h 2 2 h g

Simplificando a equação

V x 2 = 4 h 2 1 2 h g = 4 h 2 g 2 h

V x 2 = 2 g h

Interessante, não é? 😎

Passo 5

Substituindo V x 2 em r , vamos obter

r = m 1 2 g h m 2 g

r = m 1 2 h m 2

Outra informação importante é que foi dito que m 2 = 3 m 1 , logo podemos afirmar que

m 1 m 2 = 1 3

Com isso, vemos que

r = m 1 2 h m 2 = m 1 m 2 · 2 h

r = 1 3 · 2 h

Assim chegamos ao resultado de que o raio que m 1 percorre inicialmente deve ser 2 / 3 de h !

r = 2 h 3

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

r = 2 h 3

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