Uma vasilha de massa muito grande permanece sempre em repouso sobre uma mesa horizontal (a mesa não é mostrada na figura). A forma da vasilha é a de um tronco de cone circular reto com base de raio igual a r e superfície lateral que faz um ângulo θ com a mesa. Deslizando por sua superfície interna sem atrito, um pequeno bloco de massa m descreve um movimento circular uniforme de velocidade v no sentido indicado pela flecha e sempre à mesma altura H . No sistema de coordenadas mostrado, o plano x - z é horizontal e a gravidade é dada pelo vetor g → = - g   j ^ .

a) Num dado instante, a velocidade do bloco é dada pelo vetor v → = - v   k ^ . Represente o diagrama de corpo livre para o bloco nesse instante e desenvolva a segunda lei de Newton para cada um dos três eixos, x , y , z . Encontre também o raio de curvatura R da trajetória do bloco, em função de r , H e θ .

b) Considere g = 10,0   m / s 2 , m = 2,00   k g , θ = 45 ° , v → = - v   k ^ . Para uma trajetória do bloco com raio de curvatura R = 90,0   c m , encontre o módulo v da velocidade e o vetor N → que representa a força normal de contato exercida pela vasilha sobre o bloco.

c) Marque somente uma opção. Não é necessário justificar. No mesmo instante em que a velocidade do bloco é dada pelo vetor   v → = - v   k ^ , a mesa exerce sobre a vasilha uma força total designada pelo vetor: F → = F x i ^ + F y j ^ + F z k ^ . Sobre este vetor, é correto afirmar:

(i) F x = 0 ,   F y > 0 ,   F z = 0 ;

(ii) F x > 0 , F y > 0 , F z = 0 ;

(iii) F x < 0 , F y > 0 , F z = 0 ;

(iv) F x > 0 , F y > 0 , F z < 0 ;

(v) F x > 0 , F y > 0 , F z > 0 ;

(vi) F x < 0 , F y > 0 , F z < 0

Passo 1

(a)

O vetor velocidade estará no sentido de - k ^ na posição indicada na figura, logo as forças atuantes serão a força peso e a normal:

Aplicando a segunda lei de Newton para o bloco, lembrando que a força resultante é a centrípeta apontando para o centro do circulo e de fórmula F c p = m v 2 R :

Eixo x:

N x = m a c

N sen ⁡ θ = m v 2 R

Eixo y :

N y - m g = 0

N cos ⁡ θ =   m g

Eixo z :

F R E S z = m a z

0 = 0

Raio de curvatura, R :

R = r + d

Onde forma-se um triângulo de catetos H e d que podem ser relacionados por:

H d = tan ⁡ θ

d = H tan ⁡ θ

Substituindo no raio da curvatura:

R = r + H tan ⁡ θ

Passo 2

(b)

Dividindo a equação do eixo ( x ) pela equação do eixo ( y ):

N sen ⁡ θ N cos ⁡ θ = m v 2 R m g

tan ⁡ θ = v 2 R g

Substituindo os dados:

1 = v 2 0,9 · 10

v = 3,0   m / s    

As componentes da normal N ficam:

N x = m v 2 R = 2 · 3 2 0,9

N x = 20   N

N y = m g = 2 · 10

N y = 20   N

N z = 0

Finalmente:

N → = N x i ^ + N y j ^ + N z k ^

N → = - 20   N i ^ + 20   N j ^

Passo 3

(c)

Essa força resultante que o recipiente exerce no bloco é justamente a força normal que calculamos no item anterior:

N → = - 20   N i ^ + 20   N j ^

Ou seja, a componente x é menos que zero, a componente y é maior que zero e a componente z é igual a zero.

Alternativa iii

Resposta

(a) R = r + H tan ⁡ θ

(b) v = 3,0   m / s ;   N → = - 20   N i ^ + 20   N j ^

(c) Alternativa iii

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