Você está dirigindo um carro em uma pista circular de raio R , que é inclinada de um ângulo θ com a horizontal, como indicado na Figura. A velocidade do carro é v , constante em módulo.

(a) Faça um diagrama de forças considerando que não existe nenhum tipo de atrito entre os pneus do carro e a pista.

(b) Calcule a velocidade na ausência de atrito em função de R , θ e g .

(c) Considerando que mesmo com o carro andando há uma força de atrito do tipo estático (de coeficiente µ s ) entre os pneus do carro e a pista, que evita que o carro deslize para baixo ou para cima. Faça o diagrama de forças nestes dois casos.

(d) Com o atrito descrito no item (c) entre o pneu do carro e a pista, determine a velocidade mínima e máxima que o carro pode ter para que este não deslize.

Passo 1

(a)

Sem a força de atrito teremos apenas a força normal N → e a força peso m g → , formando uma força resultante centrípeta F r e s → .

Passo 2

(b)

No caso sem atrito, temos que a componente vertical da força normal compensa exatamente a força-peso, portanto:

N cos ⁡ θ = m g

A força resultante será na horizontal, e será a componente horizontal da normal:

F r e s = N sen ⁡ θ

F r e s = m g cos ⁡ θ sen ⁡ θ

F r e s = m g tan ⁡ θ

Usando F r e s = m . a c , e a fórmula da aceleração centrípeta: a c = v 2 R , temos que:

m . v 2 R = m g tan ⁡ θ

v = g R tan ⁡ θ

Passo 3

(c)

Se o carro andar a baixa velocidade, ele correrá o risco de deslizar para baixo na pista. Logo ele precisa de uma força de atrito que o empurre para cima na pista. Ficará assim:

Além disso, o carro poderá andar a altíssima velocidade e correr o risco de sair para fora da pista. Para isso a força de atrito terá que empurra-lo de volta a pista. Então teremos também este caso:

Passo 4

(d)

Lembra que no item b calculamos a velocidade do carro na pista sem atrito? Então, está velocidade é a referência para dizer se está a uma velocidade alta ou baixa. A força de atrito estático será para cima da pista se v < g R tan ⁡ θ , ou para baixo da pista no caso de v > g R tan ⁡ θ .

Vamos supor inicialmente o primeiro caso, de uma velocidade abaixo daquela na qual o atrito seria nulo. Temos então, pelo diagrama do item anterior, que as componentes na horizontal e na vertical são dadas por:

Na horizontal:

F h = N sen ⁡ θ - F s cos ⁡ θ

Na vertical:

F v = N cos ⁡ θ + F s sen ⁡ θ - m g = 0

Usando que o valor máximo da força de atrito estático é F s = µ s N , da segunda equação encontramos que o valor máximo da normal é:

N cos ⁡ θ + F s sen ⁡ θ - m g = 0

N cos ⁡ θ + μ s sen ⁡ θ - m g = 0

N = m g cos ⁡ θ +   µ s sen ⁡ θ

Substituindo esse resultado na primeira equação, temos que:

F h = N sen ⁡ θ - F s cos ⁡ θ

F h = N sen ⁡ θ - μ s cos ⁡ θ

F h = m g . sen ⁡ θ - µ s cos ⁡ θ cos ⁡ θ + µ s sen ⁡ θ

Como:

F h = m a c = m . v 2 R

Obtemos:

m . v 2 R =   m g . sen ⁡ θ - µ s cos ⁡ θ cos ⁡ θ + µ s sen ⁡ θ

v m í n = g R . sen ⁡ θ - µ s cos ⁡ θ cos ⁡ θ + µ s sen ⁡ θ

O caso em que v > g R tan ⁡ θ é totalmente análogo ao anterior, bastando que se inverta o sentido da força de atrito F s nas equações acima. O resultado é a mudança no sinal de μ s :

v m á x = g R . sen ⁡ θ + µ s cos ⁡ θ cos ⁡ θ - µ s sen ⁡ θ

Resposta

(a)

(b) v = g R tan ⁡ θ

(c) Baixa velocidade:

Alta velocidade:

(d)

v m í n = g R . sen ⁡ θ - µ s cos ⁡ θ cos ⁡ θ + µ s sen ⁡ θ

v m á x = g R . sen ⁡ θ + µ s cos ⁡ θ cos ⁡ θ - µ s sen ⁡ θ

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