Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Passo 1

Integração por partes né? Do que a gente precisa? Determinar quem vai ser u   e   d v , certo? Vamos lembrar do nosso macete para escolher o u , o LIATE (logarítmica, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica e exponencial).

No nosso caso temos uma inversa trigonométrica, então

u = arcsen ⁡ x

d v = d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Escolhidos u   e   v , precisamos encontrar d u   e   v

u = arcsen ⁡ x

Derivando

d u = 1 1 - x 2 d x

Essa é uma daquelas derivadas mais chatinhas de fazer, se ficar com dúvida volta lá nos tópicos de derivação que tá mais detalhado. Vamos continuar

d v = d x

v = x

Vamos omitir as constantes aqui,beleza? Lá no final a gente coloca a constante geral.

Passo 3

Pronto! Com u , d u , v   e   d v determinados, agora vamos aplicar na regrinha da integração por partes que é:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aplicando

∫ u   d v = arcsen ⁡ x .   x - ∫ x 1 - x 2 d x

Passo 4

Para resolver

∫ x 1 - x 2 d x

Vamos utilizar o método da substituição

u = 1 - x 2

d u = - 2 x   d x

- 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2   2 u = - u

Substituindo novamente

∫ x 1 - x 2 d x = - 1 - x 2

Passo 5

Substituindo na nossa expressão

∫ arcsen ⁡ x d x = arcsen ⁡ x .   x - ∫ x 1 - x 2 d x

∫ arcsen ⁡ x d x = arcsen ⁡ x .   x + 1 - x 2   + C

Prontinho! Não esquece da constante viu?

Resposta

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas