Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Nos exercícios de 1 a 24 , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.

12)

∫ e x   d x

Passo 1

Bem, nesse tipo de integral é sempre bom pensarmos em como podemos eliminar essa raiz que está nos complicando.

Uma saída é se realizarmos uma substituição mais avançada daquela que estamos acostumados:

Bem se substituíssemos o x por

x = t 2

Repare que a raiz quadrada desaparece

x = t 2 = t       ( c o n s i d e r a n d o   o   t ≥ 0 )

Sacou?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, então antes de trocarmos na integral, calculemos o d x para trocarmos também...

x = t 2     →         d x = 2 t d t

Trocando...

∫ e x   d x = ∫ e t   2 t d t     ⇒

2 ∫ t e t d t  

Essa integral é bem mais elegante, não é mesmo? Mas ainda não sai de uma forma direta! Como a derivada de t é easy e a integral de e t também, podemos pensar em uma integração por partes!

Passo 3

Nesse método de integração usemos a fórmula de integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aqui temos duas tarefas iniciais:

  1. A primeira é encontrar a u e o d v :
    1. O u é sempre o que é fácil de derivar, no caso u = t .
    2. O d v é o outro cara do produto...

    d v = e t d t

  2. A segunda tarefa é encontrar o d u derivando o u e o v integrando o d v :
  1. u = t     →         d u = d t
  2. d v = e t d t       →         v = e t

Show de bola! Agora é só trocar na fórmula de integração por partes mesmo:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u     →

∫ t e t d t = t e t - ∫ e t   d t

Como essa integral de e t é o próprio e t ...

∫ t e t d t = t e t - e t + C

Passo 4

Agora, não queremos o resultado em t , por isso voltamos para a variável original...

t = x

2 ∫ t e t d t = 2 t e t - e t + C   ⇒

2 ∫ e x   d x = 2 x e x - 2 e x + C

Repare que 2 C continua sendo uma constante, por o chamamos de C novamente (como se o C engolisse esse 2 ) ;)

Resposta

2 x e x - 2 e x + C

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