3.4. Calcule as integrais:

(b) ∫ e x s e n x d x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, temos que obter a integral de f x = e x s e n x

E aí, parece tranquilo, né? 😎

Como nossa função de integração é o produto de duas funções, podemos aplicar o método de integração por partes...

O método de integração por partes é equivalente à regra do produto nas derivadas, para aplicar esse método fazemos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Para determinar u , existe uma regrinha que é chamada de L I A T E onde cada letra representa

Assim, seguindo essa ordem para determinar quem é u na nossa função de integração, não vai ter erro na hora de integrar.

Por exemplo, no nosso caso, temos

f x = e x s e n x

Ou seja, o termo s e n x aparece primeiro na palavra L I A T E , então esse termo será u e e x d x será nosso d v

u = s e n x d v = e x d x

Derivando u e integrando d v , temos

u = s e n x d v = e x d x → d u = cos ⁡ x d x v = e x

Bacana, não é? 😁

Passo 3

Montando nossa integral, temos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

∫ e x s e n x d x = s e n x · e x - ∫ e x cos ⁡ x d x

Para a integral de e x cos ⁡ x , temos que aplicar o método de integração por partes novamente...

u = cos ⁡ x d v = e x d x → d u = - s e n x d x v = e x

∫ e x cos ⁡ x d x = cos ⁡ x e x - ∫ e x - s e n x d x

∫ e x cos ⁡ x d x = cos ⁡ x e x + ∫ e x s e n x d x

Substituindo na primeira integral, temos

∫ e x s e n x d x = s e n x · e x - ∫ e x cos ⁡ x d x

∫ e x s e n x d x = s e n x · e x - cos ⁡ x e x + ∫ e x s e n x d x

∫ e x s e n x d x = s e n x · e x - cos ⁡ x e x - ∫ e x s e n x d x

Passando ∫ e x s e n x d x para um lado da equação...

∫ e x s e n x d x + ∫ e x s e n x d x = s e n x · e x - cos ⁡ x e x + C

2 ∫ e x s e n x d x = s e n x · e x - cos ⁡ x e x + C

∫ e x s e n x d x = s e n x e x - cos ⁡ x e x 2 + C

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ e x s e n x d x = s e n x e x - cos ⁡ x e x 2 + C

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