Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calcule a integral

∫ x sec 2 ⁡ x d x

Passo 1

Dentro da integral, temos 2 funções bem diferentes (o polinômio x e a função trigonométrica sec 2 ⁡ x ), o que é um bom indício que vamos usar integração por partes.

Vamos fazer o seguinte:

u = x → d u = d x d v = sec 2 ⁡ x d x → v = tg ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos ter:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x sec 2 ⁡ x d x = x tg ⁡ x - ∫ tg ⁡ x d x

⇒ ∫ x sec 2 ⁡ x d x = x tg ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + C

Obs. : Considerando que

ln ⁡ sec ⁡ x = ln ⁡ 1 cos ⁡ x = ln ⁡ 1 - ln ⁡ cos ⁡ x = - ln ⁡ cos ⁡ x

Também dá pra escrever a resposta assim:

x tg ⁡ x + ln ⁡ c os ⁡ x + C

Resposta

x tg ⁡ x + ln ⁡ c os ⁡ x + C

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