Resolva as integrais indefinidas abaixo:

b )   ∫ x 2 e x d x

Passo 1

Letra (b):

∫ x 2 e x d x

Quando aparecer o produto de uma exponencial em x e um polinômio de x você não deve pensar duas vezes, deve vir em mente a palavra: PARTES!

Sim minha gente! Sempre vamos usar a técnica da integração por partes aqui! Isso porque o e x tanto sua derivada, quanto sua primitiva são iguais! E aí você vai escolher o polinômio para ser sua função u , pois no futuro você vai usar o d u dela, ou seja, sua derivada.

Lembra que derivada de polinômio baixa o grau dele, e integral aumenta. Então sempre escolhe pra u a função que você quer que diminua o grau.

Sendo assim temos que u = x 2 , d v = e x .

Passo 2

A integração por partes é:

∫ u . d v = u v - ∫ v . d u

No nosso caso u = x 2 e d v = e x , então:

u = x 2               d u = 2 x   d x

d v = e x           v = e x

Agora é só substituir na fórmula:

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - ∫ e x . 2 x d x

E vamos reorganizar um pouquinho o integrando do lado direito:

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - 2 ∫ x e x d x

Mas ué? Ficamos com outra integral com x e e x ! Isso mesmo! Baixamos o grau do polinômio de x 2 para x , eu não disse que ia resolver 100% o problema, mas que isso ia simplificar nossa vida!

E realmente simplificou, porque agora temos uma integral parecida com a de antes, mas com um polinômio de grau menor, e é isso que a gente quer né? Sempre diminuir esse grau aí!

Uma dica: o grau do polinômio vai indicar quantas vezes você vai aplicar integração por partes. Aqui o x tinha grau inicial 2 , então vamos integrar por partes duas vezes.

Passo 3

Tínhamos assim:

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - 2 ∫ x e x d x

Agora nosso u vai ser x e nosso d v é de novo e x :

u = x           d u = d x

d v = e x           v = e x

Beleza? Agora vamos integrar por partes a integral do lado direito que sobrou:

= x 2 e x - 2 ∫ x e x d x

= x 2 e x - 2 x e x - ∫ e x d x

Fazendo a multiplicação do - 2 temos:

= x 2 e x - 2 x e x + 2 ∫ e x d x

Passo 4

Pronto! Quase lá! Agora só falta resolver a integral que sobrou do lado direito:

x 2 e x - 2 x e x + 2 e x + C

No fim não esquece de colocar o + C , pois temos uma integral indefinida tá?

Aí a resposta final fica assim:

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - 2 x e x + 2 e x + C

Resposta

b )   x 2 e x - 2 x e x + 2 e x + C

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Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x