Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

1i) Calcule as seguintes integrais:

∫ x 2 e - x   d x

Passo 1

Bora lá calcular essa integral. Como temos funções de tipo diferentes sendo multiplicadas:

x 2

e - x

Talvez seja interessante a gente usar a integração por partes, beleza? Vamos testar então. Sendo a integração por partes feita:

∫ f   d g = f g -   ∫ g   d f

Vamos ter que escolher primeiro f e d g . Se fizermos:

f = x 2 → d f d x = 2 x   → d f = 2 x   d x

d g = e - x   d x → g = - e - x

Substituimos então na fórmula da integração por partes:

∫ x 2 e - x   d x = - x 2   e - x + ∫ 2 x   e - x   d x

E olha só! Não é que ajudou? A gente pode até ter ficado com outra integral pra resolver, mas essa dá pra resolver usando a mesma metodologia, beleza? Olha só:

f = 2 x → d f d x = 2   → d f = 2   d x

d g = e - x   d x → g = - e - x

Vamos ter então:

∫ f   d g = f g -   ∫ g   d f

∫ 2 x   e - x   d x = - 2 x   e - x + ∫ 2   e - x   d x  

O que dá:

∫ 2 x   e - x   d x = - 2 x   e - x - 2   e - x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só a gente unir os resultados. Tínhamos:

∫ x 2 e - x   d x = - x 2   e - x + ∫ 2 x   e - x   d x

∫ 2 x   e - x   d x = - 2 x   e - x - 2   e - x  

Misturando tudo dá pra ver, o resultado aparecer:

∫ x 2 e - x   d x = - x 2   e - x + - 2 x   e - x - 2   e - x

∫ x 2 e - x   d x = - e - x x 2 + 2 x + 2

E claro, não vamos esquecer a constante de integração!

∫ x 2 e - x   d x = - e - x x 2 + 2 x + 2 + C

Resposta

∫ x 2 e - x   d x = - e - x x 2 + 2 x + 2 + C

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