Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

4a) Calcule as seguintes integrais:

∫ x - 1 ln ⁡ x 2 - 2 x + 2   d x

Passo 1

Um truque muito bom na hora de resolver integrais é olhar o tipo de função que estamos trabalhando. Veja bem, em

x - 1 ln ⁡ x 2 - 2 x + 2

Temos um logarítimo, e dois polinômios. Como os polinômios são de graus diferentes e o de fora é de grau menor, uma estratégia daora é fazer a substituição simples:

u = x 2 - 2 x + 2

Porque veja bem, se derivarmos u x , temos:

d u d x = 2 x - 2 = 2 x - 1

E olha só! Não é que temos exatamente o mesmo polinômio que multiplica o logarítimo aparecendo nessa derivada? Então fazendo essa substituição, temos:

d x = d u 2 x - 1

∫ x - 1 ln ⁡ x 2 - 2 x + 2   d x = ∫ x - 1 ln ⁡ u   d u 2 x - 1

∫ x - 1 ln ⁡ x 2 - 2 x + 2   d x = 1 2 ∫ ln ⁡ u   d u

Opa, ficamos com uma integral bem menor pra fazer! Vamos resolver ela então!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bora agora resolver:

∫ ln ⁡ u   d u

Talvez a gente nem saque de primeira, mas olha só, se entendermos:

∫ ln ⁡ u   d u = ∫ 1 ∙ ln ⁡ u   d u = ∫ u 0 ∙ ln ⁡ u   d u

Podemos ver que a nossa integral é, na verdade, um produto de funções diferentes! E isso nos dá uma dica: Integração por Partes! Seja:

∫ f   d g = f g -   ∫ g   d f

Escolhendo então:

f = ln ⁡ u

d g = u 0   d u  

Vamos ter:

d f d u = 1 u → d f = d u u

g = u 1

E logo a integral fica:

∫ u 0 ∙ ln ⁡ u   d u = u 1 ln ⁡ u - ∫ u 1 d u u

Ou seja:

∫ ln ⁡ u   d u = u ln ⁡ u - ∫ 1   d u

O que, no final das contas, dá:

∫ ln ⁡ u   d u = u ln ⁡ u - u

∫ ln ⁡ u   d u = u ln ⁡ u - 1

Passo 3

Bora fechar com chave de ouro então a questão. Juntando tudo que achamos, temos:

∫ x - 1 ln ⁡ x 2 - 2 x + 2   d x = 1 2 ∫ ln ⁡ u   d u

∫ ln ⁡ u   d u = u ln ⁡ u - 1

O resultado da integral então é:

∫ x - 1 ln ⁡ x 2 - 2 x + 2   d x = u 2 ln ⁡ u - 1

Voltando agora pra variável original:

u = x 2 - 2 x + 2

Vamos ter:

∫ x - 1 ln ⁡ x 2 - 2 x + 2   d x = x 2 - 2 x + 2 2 ln ⁡ x 2 - 2 x + 2 - 1 + C

Resposta

∫ x - 1 ln ⁡ x 2 - 2 x + 2   d x = x 2 - 2 x + 2 2 ln ⁡ x 2 - 2 x + 2 - 1 + C

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