Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

2b) Calcule as seguintes integrais

∫ x 3 sin ⁡ x 2 d x

Passo 1

Show, vamos começar! Nem precisa se assustar gafanhoto, porque a gente vai resolver tranquilin essa integral se lembrarmos da seguinte regra: a derivada de um polinômio de grau n é um polinômio de grau n - 1 . Como isso ajuda? Bem, saca só essa substituição simples bacanuda:

u = x 2

d u d x = 2 x

d u = 2 x d x

Agora, vamos mexer um pouco na integral, de forma que a expressão de d u e de u apareçam escritas em termos de x ! Será que rola? Vamos começar multiplicando por 2 2 :

∫ x 3 sin ⁡ x 2 d x = ∫ 2 2 ∙ x 3 sin ⁡ x 2 d x

∫ x 3 sin ⁡ x 2 d x = ∫ 1 2 ∙ 2 x 3 sin ⁡ x 2 d x

Agora vamos separar x 3 em dois termos: x e x 2 :

∫ x 3 sin ⁡ x 2 d x = ∫ 1 2 ∙ 2 x   x 2 sin ⁡ x 2 d x

E jogando o 2 x que apareceu ali do lado mais pertinho do d x :

∫ x 3 sin ⁡ x 2 d x = ∫ 1 2 ∙ x 2 sin ⁡ x 2 2 x   d x

Opa, então fizemos o d u aparecer! E todos os termos de x que sobraram são exatamente u ! Nossa integral se transforma em:

∫ x 3 sin ⁡ x 2 d x = ∫ 1 2 ∙ u sin ⁡ u d u = ∫ u 2 ∙ sin ⁡ u d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora nesse passo a gente vai resolver a nova integral que apareceu. Nota o seguinte:

∫ u 2 ∙ sin ⁡ u d u

É um produto de funções de tipos diferentes! Um polinômio vezes uma trigonométrica! Isso tem cheio de integração por partes em! Seguindo a regrinha do LIATE, seja:

∫ f   d g = f g -   ∫ g   d f

Temos como esoclha pra f o polinômio, dessa forma:

f = u 2 → d f = 1 2 d u

d g = sin ⁡ u d u → g = - cos ⁡ u

E logo a integral fica:

∫ u 2 ∙ sin ⁡ u d u = - u cos ⁡ u 2 - ∫ - cos ⁡ u 2   d u

∫ u 2 ∙ sin ⁡ u d u = - u cos ⁡ u 2 + ∫ cos ⁡ u 2   d u

∫ u 2 ∙ sin ⁡ u d u = - u cos ⁡ u 2 + sin ⁡ u 2

∫ u 2 ∙ sin ⁡ u d u = 1 2 sin ⁡ u - u cos ⁡ u + C

E voltando pra variável original...

∫ x 3 sin ⁡ x 2 d x = 1 2 sin ⁡ x 2 - x 2 cos ⁡ x 2 + C

Resposta

∫ x 3 sin ⁡ x 2 d x = 1 2 sin ⁡ x 2 - x 2 cos ⁡ x 2 + C

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