Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Origem do Exercício

Calcule ∫ 1 3 l n ⁡ ( x )   d x pelo Método da Integração por Partes

(a) 3 ln ⁡ 3 - 5

(b) l n ⁡ ( 3 )

(c) 3 ln ⁡ 3 - 2

(d) 2 ln ⁡ 2 - 1

(e) 2

Passo 1

Vamos lembrar da fómula para a integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Mas veja que esse é um caso incomum, porque não estamos integrando um produto de duas funções, e sim apenas uma.

Podemos aplicar o método mesmo assim, é só tratar a segunda função como se fosse uma constante igual a 1 !

Nesse caso, vamos fazer:

u = ln ⁡ x       ⇒           d u = 1 x d x

d v = 1   d x           ⇒   d v d x = 1         ⇒     v = x    

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora podemos substituir tudo isso na fórmula para achar a integral indefinida.

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ ln ⁡ x   1   d x = x . ln ⁡ x - ∫ x 1 x d x

∫ l n ⁡ ( x ) = x l n x - x + C

Ótimo, agora é só substituir os limites de integração x = 1 e x = 3 :

3 ln ⁡ 3 - 3 - ln ⁡ 1 - 1 = 3 ln ⁡ 3 - 2

Pronto, esse é o valor da integral.

Resposta

Letra (c).

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