Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calcule as integrais abaixo

b)

∫ x - 1 2 e x d x

Passo 1

Termos dus funções completamente diferentes dentro da integral é um indicador de franções parciais, lembra disso? Nesse caso se você for observar, temos um exponencial ( e x ) e um polinômio x - 1 2

Lembra que na integral por partes escolhermos um u e um d v . Para u a ordem é L I A T E   ( L o g ,   i n v e r s a s ,   a l g é b r i c a ,   t r i g o n o m é t r i c a   e   e x p n e n c i a l ) .

Então já sabemos que o u vai ser o x - 1 2 enquanto o d v é tudo o que sobra.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

u = x - 1 2 → d u = 2 x - 1 d x

d v = e x d x → ∫ d v = ∫ e x d x → v = e x

Obtemos então pela fórmula

u v - ∫ v d u

x - 1 2 e x - ∫ 2 x - 1   e x d x

Passo 3

Vamos agora fazer a integração por partes mais uma vez! Pois se você for observar, ainda temos uma algébrica ali, mas dessa vez elevado a 1. Obseva que antes tínhamos elevado a 2. Ou seja, cada vez que aplicarmos esse método de integração, o grau vai diminuir. O que significa que a próxima vez será a última (UFA!).

u = x - 1 → d u = d x

d v = e x d x → v = e x

Montando intão a integral

x - 1 2 e x - 2 ∫ x - 1   e x d x = x - 1 2 e x - 2 x - 1 e x - ∫ e x d x =

= x - 1 2 e x - 2 x - 1 e x + 2 e x + c

Resposta

x - 1 2 e x - 2 x - 1 e x + 2 e x + c

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