Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Questão 1: Calcule as integrais indefinidas abaixo:

c)

∫ t sec ⁡ t tan ⁡ t d t

Passo 1

Essa integral, eu não sei quanto a você, mas estou sentindo cheiro de integração por partes. Uai, pois veja aquele termo t . Ele é fácil de derivar e derivando dá d t . Agora veja a outra expressão, a derivada da secante é exatamente igual a ela. Sacou?

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

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Passo 2

Então vamos buscar quem é o u e o v . O u é sempre quem derivando fica fácil... Ora, então ele só pode ser o t . O d v então será o outro cara...

u = t           e             d v = sec ⁡ t tan ⁡ t d t

Derivando o u para encontrar o d u e integrando o d v para encontrar o v ...

u = t                       →                           d u = d t

d v = sec ⁡ t tan ⁡ t d t                 →                 v = sec ⁡ t

Agora é só substituir na fórmula de integração por partes...

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ t sec ⁡ t tan ⁡ t d t = t sec ⁡ t - ∫ sec ⁡ t   d u   →

A integral da secante aparece muuuuito constantemente, então é bom saber como uma integral direta como a do seno ou cosseno...

∫ t sec ⁡ t tan ⁡ t d t = t sec ⁡ t - ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t + C

Prontinho ;)

Resposta

t sec ⁡ t - ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t + C

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