Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Elaboração própria

Resolva a integral:

∫ e sen ⁡ x cos ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ x d x

Passo 1

A tentativa do método da integração por partes é super recomendada aqui, pois trata-se de um produto de uma função exponencial por uma função trigonométrica.

Vamos seguir os passos da integração por partes.

Mas repara que antes temos que fazer uma substituição, temos sen ⁡ x no exponencial e dentro de um dos cossenos. E cos ⁡ x do lado de fora, que é a sua derivada. Então vamos começar fazendo a substituição

y = sen ⁡ x

d y = cos ⁡ x d x

A nossa integral fica

∫ e y cos ⁡ y d y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

∫ e y cos ⁡ y d y

1. Chamar uma parte da integral de u e outra de d v . LIATE!

u = cos ⁡ y     ( t r i g o n o m é t r i c a ,   T ) d v = e y d y         ( e x p o n e n c i a l ,   E )

2. Calcular d u derivando u . E calcular v integrando d v .

d u = - sen ⁡ y d y v = e y

3. Fazer ∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ e y cos ⁡ y d y = e y cos ⁡ y + ∫ e y sen ⁡ y d y

Passo 3

4. Verificar como calcular a integral ∫ v d u . Vamos ter que usar o método da integração por partes de novo. Repare que temos um produto, de novo, de uma função exponencial por uma função trigonométrica

Passo 4

5. Calcular!

∫ e y sen ⁡ y d y

Calculando pelo método da integração por partes:

u = sen ⁡ y     ( t r i g o n o m é t r i c a ,   T ) d v = e y d y         ( e x p o n e n c i a l ,   E )

Achando d u , v

d u = cos ⁡ y d y v = e y

Então

∫ e y sen ⁡ y d y = e y sen ⁡ y - ∫ e y cos ⁡ y d y

Passo 5

Ora, olhe onde chegamos! Temos que calcular a integral do enunciado. Repare:

∫ e y cos ⁡ y d y = e y cos ⁡ y + e y sen ⁡ y - ∫ e y cos ⁡ y d y

Parece que chegamos em uma encruzilhada! Mas, não! Com um olhar mais atento, podemos perceber que podemos tratar   ∫ e y cos ⁡ y d y como uma variável a ser calculada. Assim,

2 ∫ e y cos ⁡ y d y = e y cos ⁡ y + e y sen ⁡ y

∫ e y cos ⁡ y d y = e y cos ⁡ y + e y sen ⁡ y 2 + C

Não pode esquercer da constante

Passo 6

Vamos voltar para x agora

y = sen ⁡ x

A nossa resposta vai ser

e sen ⁡ x cos ⁡ sen ⁡ x + e sen ⁡ x sen ⁡ sen ⁡ x 2 + C

Resposta

e sen ⁡ x cos ⁡ sen ⁡ x + e sen ⁡ x sen ⁡ sen ⁡ x 2 + C

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