Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calcule a seguinte integral :

∫ arctg ⁡ x d x

Passo 1

Aparecendo uma função inversa trigonométrica solta assim, sem nenhuma chance de aplicar substituição, não tenha dúvidas que vamos ter que integrar por partes!

Mas na integração por partes precisamos do produto de duas funções né. Por isso vamos usar o macete da segunda função ser simplesmente a função constante “ 1 ”:

∫ arctg ⁡ x d x = ∫ 1 . arctg ⁡ x d x

Pela regrinha do LIATE, vamos chamar a arco tangente de u :

u = arctg ⁡ x ⇒ d u = d x 1 + x 2 d v = 1 d x = d x ⇒ v = x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando a fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

⇒ ∫ arctg ⁡ x d x = x . arctg ⁡ x - ∫ x 1 + x 2 d x

Passo 3

Vamos calcular separado essa nova integral que apareceu:

∫ x 1 + x 2 d x

Apareceu um x 2 no denominador e um x no numerador, então basta fazer uma substituição simples

w = 1 + x 2 ⇒ d w = 2 x . d x

⇒ x . d x = 1 2 d w

Assim,

∫ x 1 + x 2 d x = 1 2 ∫ d w w

= 1 2 ln ⁡ w = 1 2 ln ⁡ 1 + x 2

Vou deixar pra acrescentar a constante de integração no fim da questão, tá?

Passo 4

Voltando pra integral original, tínhamos:

∫ arctg ⁡ x d x = x . arctg ⁡ x - ∫ x 1 + x 2 d x

=   x . arctg ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2

Com a constante de integração, fica: x . arctg ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + C

E como 1 + x 2 > 0 , podemos tirar o módulo:

x . arctg ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + C

Pronto! Essa belezura é a integral da função arco tangente. :)

Resposta

x . arctg ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + C

Obs.: uma outra forma de escrever é:

x . arctg ⁡ x - ln ⁡ 1 + x 2 + C

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