Calcule as integrais das funções abaixo:

d )   ∫ cos ⁡ ( 2 x ) ln ⁡ ( t g 3 x )   d x  

Passo 1

Olá galera, tudo belezinha? Essa questão fala de integral de uma função! Precisamos resolver essa integral indefinida aqui

∫ cos ⁡ ( 2 x ) ln ⁡ ( t g 3 x )   d x

e agora, como resolver isso? Por onde começar? Nossa pergunta de milhões...

Temos como integrando uma função logarítmica e normalmente integramos com alguma técnica (substituição e por partes), só que no nosso caso temos uma função trigonométrica no seu argumento, e fora do integrando também! Mas então o que fazer?

A ideia aqui é usar a técnica de integração por partes para que resulte em uma integral mais simples (lembrando que a derivada do logaritmo vai ‘tirar’ aquela tangente pra fora) e assim integrar usando a técnica de integração mais apropriada!

Belezinha até aqui?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é a seguinte

∫ cos ⁡ ( 2 x ) ln ⁡ ( t g 3 x ) d x

Antes de mais nada, vamos analisar o integrando com mais carinho

Temos um produto com logaritmo com função trigonométrica, e aí que está nosso pulo do gato!

Em casos assim usamos a integração por partes!

Bora escolher quem será nosso u e d v !

Para a escolha do u temos uma listinha, nosso famoso LIATE

  • L: logaritmo
  • I: inversa trigonométrica
  • A: algébrica (polinômio)
  • T: trigonométrica
  • E: exponencial

Seguindo essa lista, você vai descobrir quem escolher para u ! No nosso caso, u = ln ⁡ ( t g 3 x ) , assim

u = ln ⁡ ( t g 3 x ) → d u = 1 t g 3 x . 3 . t g 2 x . sec 2 ⁡ x d x = 3 sec 2 ⁡ x t g x d x

d v = c o s ⁡ ( 2 x ) d x → v = 1 2 s e n ( 2 x )

Beleza?

Relembrando a integração por partes

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Aí temos o seguinte

∫ cos ⁡ 2 x ln ��� t g 3 x d x = 1 2 s e n 2 x ln ⁡ t g 3 x - ∫ 1 2 s e n 2 x . 3 sec 2 ⁡ x t g x d x

Podemos ainda usar a identidade trigonométrica do seno do arco duplo para simplificar ainda mais o integrando

s e n 2 x = 2 s e n x cos ⁡ x

Aí temos

1 2 s e n 2 x ln ⁡ t g 3 x - 3 ∫ s e n x cos ⁡ x . 1 cos 2 ⁡ x . cos ⁡ x s e n x d x

= 1 2 s e n 2 x ln ⁡ t g 3 x - 3 ∫ d x

Tranquilo? Viu que ficamos com uma integral bem mais simples! Agora é só integrar! Vamos lá?

Passo 3

Precisamos resolver agora essa integral aqui:

1 2 s e n 2 x ln ⁡ t g 3 x - 3 ∫ d x

O termo mais à esquerda já está integrado, precisamos resolver só o termo mais à direita! Assim temos

1 2 s e n 2 x ln ⁡ t g 3 x - 3 x

Bem mais tranquilo né?

Terminamos? NÃO!

Nossa integral original é indefinida! Precisamos somar a constante de integração!

Daí nosso resultado fica

1 2 s e n 2 x ln ⁡ t g 3 x - 3 x + C

Ufa, terminamos galera! Vamos para a próxima?

Resposta

1 2 s e n 2 x ln ⁡ t g 3 x - 3 x + C

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Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x