Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Nos exercício 1 a 24 , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.

17)

∫ x 1 + s i n   x     d x

Passo 1

Bem, antes de fazermos qualquer coisa nessa integral para resolvê-la em si, vamos tentar simplifica-la, e cara seria muito legal se desaparecêssemos com aquela soma ali em baixo, não seria?

E você pode fazer isso! ☺

Lembra que c o s 2 x   = 1 - s i n 2 x   ? Então! Se a gente multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado 1 - s i n   x   ...

∫ x 1 + s i n   x     d x = ∫ x 1 + s i n   x   ⋅ 1 - s i n   x   1 - s i n   x     d x =

∫ x 1 - s i n   x   1 2 - s i n 2 x     d x =

∫ x 1 - s i n   x   1 - s i n 2 x     d x

Olha só o que apareceu ali! Simplificou muuuuito a nossa vida, viu?

∫ x 1 + s i n   x     d x = ∫ x - x   s i n   x   c o s 2 x     d x

Agora é só resolver essa integral aí, saca? ☺

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Podemos simplificar ainda mais essa integral aí se dividirmos em duas integrais...

∫ x - x   s i n   x   c o s 2 x     d x = ∫ x c o s 2 x     d x - ∫ x   s i n   x   c o s 2 x     d x

Se você se recordar, 1 c o s 2 x   = s e c 2 x   e s i n   x     c o s 2 x = t a n   x   s e c   x   ...

∫ x 1 +   s i n   x     d x = ∫ x   s e c 2 x     d x - ∫ x   t a n   x     s e c   x     d x

Vamos resolver cada uma dessas integrais geradas pelo trabalho algébrico, separadas, ok?

Passo 3

Primeiro a primeira integral

∫ x   s e c 2 x     d x

O x a gente pode derivar de forma fácil e o x   conhecemos a sua integral, então... Podemos integrar utilizando a integração por partes, onde pela fórmula

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Temos que definir o u e o d v , que na verdade já foi definido quando falamos que o x é fácil de derivar, então ele é o u e o outro é o d v ...

u = x

d v = s e c 2 x   d x

Para determinar o d u derivamos e o v ... Integramos:

u = x       →           d u = d x

d v = s e c 2   x   d x             →               v = t a n   x  

Logo pela fórmula...

∫ x   s e c 2 x   d x = x   t a n   x   - ∫   t a n   x     d x

A integral de tangente é uma integral que sai fácil se lembrarmos de que...

∫ x   s e c 2 x   d x = x   t a n   x   - l n   s e c   x     + C

Passo 4

Ok! Agora a gente pode fazer a segunda integral

∫ x   t a n   x   s e c   x     d x

Que de forma semelhante, também faremos por partes, onde o u continua sendo o x , pois é fácil de derivar...

u = x

d v = t a n   x   s e c   x   d x

Calculando o v lembrando-se da derivada da secante e também o d u derivando o x ...

u = x         →               d u = d x

d v = t a n   x   s e c   x   d x                         →                 v = s e c   x  

Logo pela fórmula...

∫ x   t a n   x   s e c   x   d x = x   s e c   x   - ∫ s e c   x     d x

A integral da secante é bem chata de resolver na hora e como ela aparece com uma certa frequência... É recomendado memoriza-la ;)

∫ x   t a n   x   s e c   x   d x = x   s e c   x   - l n   s e c   x   + t a n   x    

Passo 5

Voltando à integral que realmente queremos

∫ x 1 + s i n   x     d x = ∫ x   s e c 2 x     d x - ∫ x   t a n   x   s e c   x     d x   ⇒

∫ x 1 + s i n   x     d x = x   t a n   x   - l n   s e c   x     - x   s e c   x   - l n   s e c   x   + t a n   x     + C ⇒

∫ x 1 + s i n   x     d x = x   t a n   x   - l n   s e c   x     - x   s e c   x   + l n   s e c   x   + t a n   x     + C   ⇒

Lembrando da propriedade de subtração do l n ...

∫ x 1 + s i n   x     d x = x   t a n   x   - x   s e c   x   + l n   s e c   x   + t a n   x   s e c   x     + C     ⇒

∫ x 1 + s i n   x     d x = x   t a n   x   - x   s e c   x + l n   1 + t a n   x   s e c   x     + C         ⇒

∫ x 1 + s i n   x     d x = x   t a n   x   - x   s e c   x   + l n   1 + s i n   x     + C

Resposta

x   t a n   x   - x   s e c   x   + l n   1 + s i n   x     + C

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