4.5. Calcule ∫ x sec ⁡ x tan ⁡ x d x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos que obter a integral de f x = x sec ⁡ x tan ⁡ x

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 😎

Como nossa função de integração é o produto de duas funções, podemos aplicar o método de integração por partes...

O método de integração por partes é equivalente à regra do produto nas derivadas, para aplicar esse método fazemos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Para determinar u , existe uma regrinha que é chamada de L I A T E onde cada letra representa

Assim, seguindo essa ordem para determinar quem é u na nossa função de integração, não vai ter erro na hora de integrar.

Por exemplo, no nosso caso, temos

f x = x sec ⁡ x tan ⁡ x

Ou seja, o termo x aparece primeiro na palavra L I A T E , então esse termo será u e sec ⁡ x tan ⁡ x d x será nosso d v

u = x d v = sec ⁡ x tan ⁡ x d x

Derivando u e integrando d v , temos

u = x d v = sec ⁡ x tan ⁡ x d x → d u = d x v = sec ⁡ x

Bacana, não é? 😁

Passo 3

Montando nossa integral, temos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

∫ x sec ⁡ x tan ⁡ x d x = x sec ⁡ x - ∫ sec ⁡ x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de sec ⁡ x é dada por

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

Substituindo na integral do problema...

∫ x sec ⁡ x tan ⁡ x d x = x sec ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ x sec ⁡ x tan ⁡ x d x = x sec ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

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