Seja F : R → R dada por F x = ∫ 1 x 3 1 1 + t 4   d t . O valor da integral ∫ 0 1 x 8 F x d x é:

Passo 1

Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora pra cima! Essa questão tenta assustar a gente, colocando uns limites de integração em forma de variável e tal. Mas gente, fiquem tranquilos que o que vamos fazer aqui nada mais é do que resolver uma integral, e depois usar o valor dessa integral pra resolver outra integral. A primeira que temos que resolver é:

F x = ∫ 1 x 3 1 1 + t 4   d t

A partir do Segundo Teorema Fundamental do Cálculo, podemos dizer que: para encontrar a integral definida de uma função ƒ de 𝘢 até 𝘣, precisamos calcular uma primitiva de ƒ , chamá-la de F , e calcular   F ( b ) - F ( a ) . E quem é a primitiva de uma função? “Seja 𝑓 uma função definida num intervalo real I   =   [ a ,   b ] . Uma primitiva (ou antiderivada) de 𝑓 em 𝐼 é uma função 𝐹 definida em 𝐼 onde F ' ( x ) = f ( x ) para qualquer 𝑥 ∈ 𝐼".

Logo, F é derivável e pela regra da cadeia:

F ' x = 3 x 2 1 + x 12

Passo 2

Agora precisamos calcular a próxima integral, dada por:

∫ 0 1 x 8 F x d x

Aqui vamos resolver a partir de integral por partes. Sendo u = F ( x ) e d v = x 8   d x . Logo, d u = F ' x d x e v = x 9 9 . Montando nossa integração por partes:

u ⋅ v - ∫ v   d u

Logo,

F x x 9 9 - ∫ x 9 9   F ' ( x )

Passo 3

Agora que montamos o limite, vamos responder! Temos que:

l i m x → 0 2 x cos ⁡ x 2 l i m x → 0 1 f ' x  

Aplicando L’hospital mais uma vez (separadamente em cada limite), temos:

l i m x → 0 2 x cos ⁡ x 2 =   l i m x → 0   2 ⋅ ( cos ⁡ x 2 - 2 x 2 sen ⁡ x 2 )

l i m x → 0 1 f ' x = l i m x → 0 1 f ' ' x

l i m x → 0 1 f ' ' x = 1 f ' ' ( 0 )

Mas pera aí, quem é f ' ' ( 0 ) ? Isso mesmo, a questão nos dá! f ' ' 0 = 8 . Portanto:

l i m x → 0 1 f ' ' x = 1 8

Agora resolvendo o outro limite:

l i m x → 0   2 ⋅ ( cos ⁡ x 2 - 2 x 2 sen ⁡ x 2 )

Aplicando o limite de derivação (0), temos:

l i m x → 0   2 ⋅ cos ⁡ x 2 - 2 x 2 sen ⁡ x 2 = 2 ⋅ cos ⁡ 0 - 2 0 2 sen ⁡ 0 2

l i m x → 0   2 ⋅ cos ⁡ x 2 - 2 x 2 sen ⁡ x 2 = 2 ⋅ ( 1 - 0 )

l i m x → 0   2 ⋅ cos ⁡ x 2 - 2 x 2 sen ⁡ x 2 = 2

Justando tudo:

l i m x → 0 2 x cos ⁡ x 2 l i m x → 0 1 f ' x = l i m x → 0   2 ⋅ cos ⁡ x 2 - 2 x 2 sen ⁡ x 2 l i m x → 0 1 f ' ' x    

l i m x → 0   2 ⋅ cos ⁡ x 2 - 2 x 2 sen ⁡ x 2 l i m x → 0 1 f ' ' x = 2 ⋅ 1 8

Ou seja

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x 2 + 1 1 f x = 1 4  

E acabamos a questão, certo? ERRADO!

Passo 4

Nós calculamos o limite do expoente de e , lembra? Nossa expressão era:

e lim x → 0 ⁡ ln ⁡   sin ⁡ x 2 + 1 1 f x

E como já achamos o valor do nosso limite, nossa expressão se torna:

e 1 / 4

Que pode ser escrita como:

e 4

E agora sim acabamos nossa questão! Item correto é o item d)

Resposta

d)

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Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x