4. Integração por Partes

g) ∫ ln ⁡ x x 2 d x

Passo 1

Falaaa.. tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ ln ⁡ x x 2 d x

Como não conseguir calcular ela diretamente, vamos usar um método de integração.

Repara que temos o produto de duas funções bem diferentes, né? Isso indica que vamos usar integração por partes.

Vamos chamar uma das funções de u e a outra de d v e usar a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

E pra escolher qual é qual?? Pra u escolher a função que seja fácil de derivar e pra d v escolhemos a função que seja fácil de integrar.

Passo 2

Usando integração por partes:

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

d v = 1 x 2 d x → v = - 1 x

Usando a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ ln ⁡ x x 2 d x = - 1 x ln ⁡ x - ∫ - 1 x 1 x d x

= - ln ⁡ x x + ∫ 1 x 2 d x

= - ln ⁡ x x - 1 x

Como é uma integral indefinida, adicionamos uma constante no final:

= - ln ⁡ x x - 1 x + C

Resposta

- ln ⁡ x x - 1 x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x