1. Calcule as integrais abaixo:

∫ x 8 - 2 x 4 + x - x 5 7   x 3 d x

Passo 1

Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Bora comigo matar essa questão e garantir aquela aprovação de milhões???

Bom, vamos entender esse enunciado aqui. Ele está querendo que a gente resolva essa integral feiosa aí, mas calma que pra tudo na vida dar-se um jeito. A ideia básica aqui é tentar melhorar a cara dessa função antes de integrar e como ela é um quociente entre x 8 - 2 x 4 + x - x 5 7 e x 3 , nós poderemos separar a parte de cima em 4 novas integrais repetindo a parte de baixo.

Tá, mas por que faremos isso???

Bom, isso vai fazer com que tenhamos integrais mais simples de trabalhar. Vem comigo que vamos resolver essa juntos!!!

Passo 2

A primeira coisa que faremos é pegar a nossa integral feiosa e dividirmos em quatro integrais um pouco mais simples.

Obs: Só podemos fazer isso por que ela está sobre um único denominador.

Então

∫ x 8 - 2 x 4 + x - x 5 7   x 3 d x

Vai se transformar em:

∫ x 8 x 3 - 2 x 4 x 3 + x x 3 - x 5 7   x 3 d x

Podemos transformar x 5 7 em x 5 7 , e simplificar todas as frações, ficando com:

∫ x 5 - 2 x + x - 2 - x - 16 7 d x

Eu sei que não ficou super linda, mas já vai ajudar a gente bastante na integração. Agora o que vamos fazer é usar uma propriedade das integrais que diz que quando temos somas ou subtrações de funções no integrando, podemos separá-lo em várias integrais e resolvê-las isoladamente.

Vamos fazer isso no próximo passo.

Passo 3

A separar nossa integral, teremos:

∫ x 5 - 2 x + x - 2 - x - 16 7 d x

∫ x 5 d x - 2 ∫ x d x + ∫ x - 2 d x - ∫ x - 16 7 d x

Ao fazermos essas manobras, todas as nossas integrais se tornaram integrais de potências que são resolvidas com a seguinte regra:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Então, bora fazer isso em cada uma:

Para

∫ x 5 d x = x 6 6

Para

- 2 ∫ x d x = - 2 x 2 2 = x 2

Para

∫ x - 2 d x = x - 1 - 1 = - 1 x

E para

- ∫ x - 16 7 = - 7 9 1 x 9 7 = - 7 9   x 9 7

Juntando todos os resultados, ficamos com:

∫ x 5 - 2 x + x - 2 - x - 16 7 d x = x 6 6 + x 2 - 1 x - 7 9   x 9 7 + c

Resposta

∫ x 8 - 2 x 4 + x - x 5 7   x 3 d x = x 6 6 + x 2 - 1 x - 7 9   x 9 7 + c

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Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x