Calcule:

∫ sec 2 ⁡ ( x ) ln ⁡ s e n x d x

Passo 1

Uma questão muito estranha à princípio, mas sabemos que podemos aplicar a fórmula de integração por partes pois conhecemos a integral de sec 2 ⁡ ( x ) cos ⁡ .

∫ u d v = u v - ∫ v d u

d v = sec 2 ⁡ ( x ) d x → v = t g ( x )

u = ln ⁡ s e n x → d u = c o s ⁡ ( x ) s e n x d x

Plugando de volta:

∫ sec 2 ⁡ ( x ) ln ⁡ s e n x d x = t g x ln ⁡ s e n ( x ) - ∫ t g x c o s ⁡ ( x ) s e n x d x

Passo 2

Como sabemos que:

t g x = s e n ( x ) cos ⁡ x

∫ t g x c o s ⁡ ( x ) s e n x d x = ∫ s e n ( x ) cos ⁡ x c o s ⁡ ( x ) s e n x d x

∫ t g x c o s ⁡ ( x ) s e n x d x = ∫ d x = x + C

Voltando, temos:

∫ sec 2 ⁡ ( x ) ln ⁡ s e n x d x = t g x ln ⁡ s e n ( x ) - x + C

Resposta

t g x ln ⁡ s e n ( x ) - x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Calcule a integral. ∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para