Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Se f ' é contínua em π 2 ,   π ,   f π 2 = - 1

∫ π 2 π f ' x sen ⁡ x d x = 2 ,

então

∫ π 2 π f x cos ⁡ x d x

vale:

  1. 1
  2. 2
  3. - 1
  4. - 2
  5. 0

Passo 1

Questão meio diferente essa...mas vamos lá. Repare que das duas integrais que temos, numa aparece a derivada da f e sen ⁡ x , e na outra a própria f e cos ⁡ x (a derivada de sen ⁡ x ).

Então que tal a gente calcular a integral pedida por partes?

Vamos fazer:

u = f x d v = cos ⁡ x d x ⇒ d u = f ' x d x v = sen ⁡ x

Então a integral vai ficar:

∫ π 2 π f x cos ⁡ x d x = f x sen ⁡ x π 2 π - ∫ π 2 π f ' x sen ⁡ x d x

Show, a nova integral que apareceu o enunciado deu!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Foi dado que

∫ π 2 π f ' x sen ⁡ x d x = 2

Ou seja:

→ ∫ π 2 π f x cos ⁡ x d x = f x sen ⁡ x π 2 π - 2

O que vai dar:

∫ π 2 π f x cos ⁡ x d x = f π sen ⁡ π - f π 2 sen ⁡ π 2 - 2

Nem precisamos de f π porque sen ⁡ π dá zero. Usando que f π 2 = - 1 :

∫ π 2 π f x cos ⁡ x d x = 0 - - 1 . 1 - 2 = 1 - 2 = - 1

Resposta

Letra (c)

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