Sejam a , b , c números inteiros. Sabendo que

∫ 0 1 a x + b e c x = 3 + e 2 2

Determine a , b , c .

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pediu para descobrir quanto vale os coeficientes a , b , c . E nos deu essa igualdade aqui:

∫ 0 1 a x + b e c x = 3 + e 2 2

Então a ideia para resolver é a seguinte: resolver a integral do lado esquerdo, aplicar os limites de integração. Com isso vamos ficar com uma expressão do lado esquerdo e que deve ser igual à expressão do lado direito da equação.

E aí aplicar o conceito de igualdade de equações: um termo só é igual ao outro quando os coeficientes das mesmas partes literais são iguais. Vamos comparar os termos semelhantes

Beleza? Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A integral indefinida do lado esquerdo é:

∫ a x + b e c x d x

Logo de cara vemos que tem uma função exponencial com um polinômio. Não temos a derivada de uma nem da outra no integrando, então não podemos usar a técnica da substituição simples. O que nos resta? POR PARTES!

Relembrando a técnica de integração...

Mas qual função escolher para u ? E para d v ? Se você não sabe qual escolher para u , você pode usar o LIATE:

Assim vamos escolher u = a x + b e d v = e c x d t . Daí temos:

u = a x + b ; d u = a d x

d v = e c x ; v = 1 c e c x

Agora é só substituir na fórmula de partes:

∫ a x + b e c x d x = a x + b c e c x - ∫ a c e c x d x

= a x + b c e c x - a c 1 c e c x = a x + b c e c x - a c 2 e c x

Beleza?

Passo 3

Agora vamos aplicar nos limites de integração:

∫ 0 1 a x + b e c x = a x + b c e c x - a c 2 e c x 0 1

= a + b c e c - a c 2 e c - b c + a c 2 = e c a + b c - a c 2 + - b c + a c 2

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora para determinar os coeficientes, precisamos voltar à igualdade que o problema nos deu:

∫ 0 1 a x + b e c x = 3 + e 2 2

E comparar com o resultado da integral definida que encontramos:

∫ 0 1 a x + b e c x = e c a + b c - a c 2 + - b c + a c 2

Podemos igualar os dois resultados e teremos o seguinte:

e c a + b c - a c 2 + - b c + a c 2 = 3 + e 2 2

Vou separar em duas frações o lado direito para você visualizar melhor:

e c a + b c - a c 2 + - b c + a c 2 = e 2 2 + 3 2

Um coeficiente já podemos determinar: o c ! É o único expoente, então

c = 2

Beleza?

c = 2 ficamos com o seguinte sistema:

e c a + b c - a c 2 = e 2 2

a + b 2 - a 2 2 = 1 2

E igualando os termos sem e 2 :

- b 2 + a 2 2 = 3 2

Podemos somar essas duas expressões e eliminar o termo b / 2 :

a 2 = 1 2 + 3 2

a 2 = 4 2 → a = 4

E usar esse resultado para encontrar b . Vou escolher a segunda equação:

a + b 2 - a 2 2 = 1 2

Daí o valor de b é:

a 2 + b 2 - a 4 = 1 2

4 2 + b 2 - 4 4 = 1 2

2 + b 2 - 1 = 1 2

b 2 = 1 2 - 1

b 2 = - 1 2

b = - 1

Assim os valores dos coeficientes que satisfazem a integral são

a = 4 ,   b = - 1 ,   c = 2

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

a = 4 ,   b = - 1 ,   c = 2

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Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x