Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Integração por Partes

Calcule:

e   ∫ 0 1 x 2 e x d x

Passo 1

Misturou polinômio com exponencial, funções que não tem muito a ver: a boa é integral por partes. Vamos chamar pelo LIATE o termo algébrico (polinômio) de u e o resto de d v .

u = x 2 → d u = 2 x d x

d v = e x d x → v = e x

∫ 0 1 x 2 e x d x = ( x 2 e x ) [ 1 0 - ∫ 0 1 2 x e x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Caímos em outra integral com polinômio e exponencial, novamente vamos usar integração por partes e novamente usamos o LIATE com o 2 x sendo o novo u

u = 2 x → d u = 2 d x

d v = e x d x → v = e x

∫ 0 1 2 x e x d x = ( 2 x e x ) [ 1 0 - ∫ 0 1 2 e x d x

= 2 x e x - 2 e x [ 1 0

Passo 3

Vamos voltar à expressão inicial e substituir os limites:

∫ 0 1 x 2 e x d x = ( x 2 e x ) [ 1 0 - ∫ 0 1 2 x e x d x

= e x x 2 - 2 x + 2 [ 1 0

= e 1 1 2 - 2 1 + 2 - e 0 0 - 2 0 + 2

= e 1 - 2

= e - 2

Resposta

∫ 0 1 x 2 e x d x = e - 2

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