Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Integração por Partes

Calcule as seguintes integrais

∫ x e x 2 sen ⁡ ( x 2 ) d x

Passo 1

Não tem mistério! O enunciado nos pede para calcularmos uma integral indefinida. Ou seja, o resultado deve ser uma família de funções (Não esquecer da constante C , marujo)!

A princípio, a integral não é óbvia e não pode ser calculada sem usarmos um método de integração.

A tentativa do método da integração por partes é recomendada aqui, pois trata-se de um produto de uma função polinomial ( x 1 ) por uma função exponencial ( e x 2 ) e por uma função trigonométrica sen ⁡ x 2 .

Porém, antes, notamos que x 2 aparece mais de uma vez no integrando, e sua derivada 2 x   d x aparece parecido. Assim, para simplificarmos o integrando, é conveniente usar o método da substituição para depois usar a integração por partes.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

∫ x e x 2 sen ⁡ ( x 2 ) d x

Vamos usar a seguinte substituição para simplificar o integrando:

t = x 2 → d t = 2 x   d x → x   d x = 1 2 d t

Substituindo:

∫ 1 2 e t sen ⁡ ( t ) d t

Passo 3

Agora, sim, vamos usar o passo a passo da integração por partes:

1. Chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Devemos escolher u na seguinte ordem: função logarítmica ( ln ⁡ x ) > função inversa ( arcsen ⁡ x , arctg ⁡ x ,   … ) > função polinomial ( x n ) > função trigonométrica ( sen ⁡ x , cos ⁡ x , sec ⁡ x , ...) > função exponencial ( e x ).

u = sen ⁡ ( t )     ( t r i g o n o m é t r i c a ) d v = 1 2 e t d t       ( e x p o n e n c i a l )

2. Calcular d u derivando u . E calcular v integrando d v .

d u = cos ⁡ ( t ) d t v = 1 2 e t

3. Fazer ∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ 1 2 e t sen ⁡ ( t ) d t = 1 2 e t sen ⁡ ( t ) - ∫ 1 2 e t cos ⁡ ( t ) d t

4. Verificar se a integral ∫ v d u é possível de calcular. Se não, volte para o passo 1 e tente outro u e d v .

É possível. Porém, iremos ter que usar a integral por partes de novo.

Passo 4

5. Calcular!

Vamos chamar I = ∫ 1 2 e t cos ⁡ ( t ) d t .

Vamos calcular I pelo método da integração por partes. Do seguinte modo:

u = cos ⁡ ( t ) → d u = - sen ⁡ ( t ) d t d v = 1 2 e t d t → v = 1 2 e t

I = 1 2 e t cos ⁡ t - ∫ - 1 2 e t sen ⁡ t d t

Passo 5

Então, substituindo I :

∫ 1 2 e t sen ⁡ ( t ) d t = 1 2 e t sen ⁡ t - 1 2 e t cos ⁡ t - ∫ 1 2 e t sen ⁡ ( t ) d t

Ora, apareceu a mesma integral que queríamos calcular no início do problema. Quando isso acontece, temos que utilizar a técnica de imaginá-la como uma variável. Assim (passando para o outro lado):

∫ 1 2 e t sen ⁡ ( t ) d t + ∫ 1 2 e t sen ⁡ ( t ) d t = 1 2 e t sen ⁡ t - 1 2 e t cos ⁡ t

2 ∫ 1 2 e t sen ⁡ ( t ) d t = 1 2 e t sen ⁡ t - 1 2 e t cos ⁡ t

Você deve estar estranhando porque não tiramos aquele meio da integral, mas olha a integral que queremos, lá em cima no final do passo 2 ela leva o 1 / 2 junto, então não vamos tirá-lo da integral, se você tirar da integral vai precisar recolocar depois para achar a integral inicial de qualquer forma.

Continuando com a questão

∫ 1 2 e t sen ⁡ ( t ) d t = 1 4 e t sen ⁡ t - 1 4 e t cos ⁡ t + C

Agora vamos substituir t por x 2 :

∫ x e x 2 sen ⁡ ( x 2 ) d x = 1 4 e x 2 sen ⁡ ( x 2 ) - 1 4 e x 2 cos ⁡ x 2 + C

Resposta

∫ x e x 2 sen ⁡ ( x 2 ) d x = 1 4 e x 2 sen ⁡ ( x 2 ) - 1 4 e x 2 cos ⁡ x 2 + C

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas