Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

1c) Calcule as primitivas abaixo:

∫ e x 2 arctan ⁡ e x d x

Passo 1

Essa questão parece bem enrolada não é? Mas veja bem, ela tem duas vezes o termo e x aparecendo! E como essa função é igual a sua própria derivada e integral, vai ser interessante fazer uma substituição simples com ela! Borá lá:

u = e x

d u d x = e x → d x = d u e x = d u u

Sendo assim, reescrevemos a integral para:

∫ e x 2 arctan ⁡ e x d x =   ∫ u 2 arctan ⁡ u d u u = ∫ u arctan ⁡ u d u

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Passo 2

Ok mas e daí? Ainda não sei resolver:

∫ u arctan ⁡ u d u

Calma gafanhoto. Dá uma boa olhada nessa integral: são duas funções diferentes sendo multiplicadas. Quando é assim, uma boa estratégia é integrar por partes. Então, seja:

f = arctan ⁡ u → d f d u = 1 u 2 + 1 → d f = 1 u 2 + 1 d u

d g = u   d u → g = u 2 2

Como a integração por partes é dada por:

∫ f d g = f g - ∫ g d f

Substituindo, temos:

∫ u arctan ⁡ u d u = u 2 arctan ⁡ u 2 -   ∫ u 2 2 1 u 2 + 1 d u

Seja:

u 2 = u 2 + 1 - 1

Reescrevemos a integral como:

∫ u arctan ⁡ u d u = u 2 arctan ⁡ u 2 - 1 2 ∫ u 2 + 1 - 1 u 2 + 1 d u

∫ u arctan ⁡ u d u = u 2 arctan ⁡ u 2 - 1 2 ∫ u 2 + 1 u 2 + 1 - 1 u 2 + 1 d u

∫ u arctan ⁡ u d u = u 2 arctan ⁡ u 2 - 1 2 ∫ 1 - 1 u 2 + 1 d u

∫ u arctan ⁡ u d u = u 2 arctan ⁡ u 2 - 1 2 ∫ 1 d u - ∫ 1 u 2 + 1 d u

Resolvendo as duas integrais no interior que surgiram, ficamos com:

∫ u arctan ⁡ u d u = u 2 arctan ⁡ u 2 - 1 2 u - arctan ⁡ u

E pra fechar com chave de ouro, voltamos a variável original e ficamos com:

∫ e x 2 arctan ⁡ e x d x = e x 2 arctan ⁡ e x 2 - 1 2 e x - arctan ⁡ e x + k

∫ e x 2 arctan ⁡ e x d x = 1 2 e x 2 arctan ⁡ e x - e x + arctan ⁡ e x + k

Resposta

∫ e x 2 arctan ⁡ e x d x = 1 2 e x 2 arctan ⁡ e x - e x + arctan ⁡ e x + k

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