Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calcule a integral

∫ x 2 senh ⁡ x d x

Passo 1

A primeira coisa que a gente tem que notar nessa integral doida é o seguinte: ela é um produto de funções. Seja f x = g x . h x , podemos dizer que g x = x 2 e h x = sinh ⁡ x .

Tá, mas e daí? Bem, agora que enxergamos isso, pensa comigo: qual método de integração tem tudo a ver com integral de produto de funções?

Pausa dramática

Integral por partes! Isso mesmo! Então vamos usar a propriedade:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, sabemos qual método de integração usar. Mas quem vai ser u , d u , v e d v ? Temos que escolher eles de forma que a segunda integral seja mais fácil de calcular que a primeira, beleza? Então se fizermos:

u = x 2 →   d u d x = 2 x   ; d u = 2 x d x

sinh ⁡ x   d x = d v → v = cosh ⁡ x

A integral fica:

∫ x 2 senh ⁡ x d x = x 2 cosh ⁡ x -   ∫ 2 x cosh ⁡ x d x

Passo 3

Ok, a segunda integral ainda não sabemos resolver de cara. Mas por que não fazer uma outra integração por partes? Dessa vez vamos escolher:

u = 2 x → d u d x = 2   ; d u = 2 d x

cosh ⁡ x   d x = d v → v = sinh ⁡ x  

A integral fica:

∫ 2 x cosh ⁡ x d x = 2 x sinh ⁡ x - ∫ 2 sinh ⁡ x d x

E agora sim a gente consegue resolver a última integral:

∫ 2 sinh ⁡ x d x = 2 cosh ⁡ x

Passo 4

Os resultados dos passos anteriores foram:

∫ x 2 senh ⁡ x d x = x 2 cosh ⁡ x -   ∫ 2 x cosh ⁡ x d x

∫ 2 x cosh ⁡ x d x = 2 x sinh ⁡ x - ∫ 2 sinh ⁡ x d x

∫ 2 sinh ⁡ x d x = 2 cosh ⁡ x

Se juntarmos tudo chegamos na nossa resposta, que vai ser:

∫ x 2 senh ⁡ x d x =   x 2 cosh ⁡ x -   2 x sinh ⁡ x + 2 cosh ⁡ x + C

∫ x 2 senh ⁡ x d x =   x 2 + 2 cosh ⁡ x -   2 x sinh ⁡ x + C

Resposta

∫ x 2 senh ⁡ x d x =   x 2 cosh ⁡ x -   2 x sinh ⁡ x + 2 cosh ⁡ x + C

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